MATEMATİK II

x-4≡3 (mod5) x-4+4≡3+4 ( mod5) x≡7 ...> x≡2 (mod5) 2 ye 5 ekleyerek ve çıkararak çözüm kümesine elde edebilriz o halde cevap a şıkkıdır.

3x+2≡4 (mod5) 3x≡2 (mod5) 6x≡4 x≡4 (mod5) o halde 4 4 ekleyip çıkararak oluşturulan küme çözüm kümesidir {...,−11,−6,−1,4,9,14,...}

24 = 2*2*2*3 56 =2*2*2*7 olduğundan ebob (24,56)=8 dir

18= 2.*3^2 63=3^2*7 ohalde ekok (18,63)= 2*3^2*7 = 126

1’den büyük olan ve sadece 1’e ve kendisine bölünen doğal sayılara asal sayı denir. 2 sadece bire ve kendisine bölündüğünden hem çift hem de asal sayıdır ve diğer bütün çift sayılar ikiye de bölünebildiği için tanımı gereği 2 ' den başka çift asal sayı yoktur.

87=3.29 şeklinde 3 ve 29 asal sayıların çarpımı olarak ifade edildiğinden şıklarda verilen 29 doğru cevaptır.

30=2.3.5 ve 105=3.5.7 olduğundan 30 ile 105 sayılarının en büyük ortak böleni 3.5=15 en küçük ortak katı ise 2.3.5.7=210 dur. Böylece a=15 ve b=210 olup a+b=15+210=225 elde edilir.

Asal sayıların tanımından dolayı a ve b asal sayılarının en büyük ortak böleni 1, en küçük ortak katı ise a.b dir. Ayrıca bu asallar 2 den farklı olduğundan tek sayı olmak zorundadır. Böylece a.b de tek sayıdır. Bu yüzden ekok(a,b).ebob(a,b) çarpımı tek, ekok(a,b)+ebob(a,b) toplamı çift, ekok(a,b)-ebob(a,b) farkı ise çift sayıdır.

24 saatte bir saat 17:00 ı göstereceği için ve 124=24.5+4 olduğundan tam 5 gün sonra yine saat 17:00 olur ve 17:00 a dört saat daha eklersek 124 saat sonra saat 21:00 olarak bulunur.

5=4.1+1 ve 17=4.4+1 olup bu sayılar 4 ile bölündüğünde kalan 1 dir. Bu yüzden 17 ≡ 5 (mod 4) elde edilir. Denk olarak 17-5=12 sayısının 4 ile tam olarak bölünüyor olması demektir. Diğer seçeneklerde 12-7=5, 9-3=6, 18-11=7, 15-10=5 sayıları 4 ile tam bölünemez.

a · x ≡ b (mod n) şeklindeki bir doğrusal denkliğin çözümünün olması için gerek ve yeter koşul ebob(a, n) sayısının b sayısını bölmesidir. ebob(2,5)=1 olup 1 sayısı 3 ü böler. Bu yüzden doğru cevap D seçeneğidir.

16 ≡ 3 (mod 13) ve 12 ≡ 12 (mod 13) dir 16.12 ≡ 3.12 (mod 13) olup 36 ≡ 10 (mod 13) olduğundan 16.12 ≡ 10 (mod 13) elde edilir.

24 ile 32 yi çarpanlara ayırıp, üsleri en büyük olan ortak çarpan 2 üssü 5 ve ortak olmayan çarpan 3'ü çarparak ekok(24, 32)=96 bulunur.

14 sayısı mod6'ya göre 2 sayısına denktir. Her iki sayının 5. kuvveti mod 6 ya göre denk olacağından sonuç 2'nin 5. kuvveti 32 dir.

Haftada 7 gün olduğundan dolayı mod 7 ye göre çalışmalıyız. 100=7x14+2=98+2 şeklinde yazılabilir. Bu nedenle 98 gün sonra yine Çarşamba olur. Çarşambadan 2 gün sonrası da Cuma olur.

81=9x9 olduğundan 81 asal değildir. 72=8x9 olduğundan 72 asal değildir. 63=9x7 olduğundan 63 asal değildir. 123=3x41 olduğundan 123 asal değildir. Bu durumda geri kalan 97 asal sayıdır.

İlk nöbetini Pazartesi günü tuttuğu için geriye 14 nöbeti daha kalır. 8 günde bir nöbet tuttuğu için, son nöbeti 14x8=112 gün sonra tutacaktır. 112=7x16 olduğundan dolayı da 112=0 (mod 7) olur. Bu da son nöbetinin yine pazartesi günü olması demektir.