MATEMATİK II

Verilen maddelerden birinci madde hariç diğerleri doğrudur. Davete katılanlardan üçünün ikişer, ikisinin üçer ve birinin beşer kişi ile tokalaşması mümkün değildir. Çünkü bir çizgede derecesi tek olan köşe sayılarının sayısı çifttir. Bu durumda davete katılanlardan dördünün ikişer, ikisinin üçer kişi ile tokalaşması mümkündür. Davete katılanların hepsi ikişer kişi ile tokalaşırsa her bir köşenin derecesi 2 olur ve tokalaşma sayısı dereceler toplamının yarısına eşittir. Yani toplam 6 tokalaşma gerçekleşir.

Verilen maddelerden birinci madde hariç diğerleri doğrudur. Derecesi en büyük köşe noktası e değil b ve d noktalarıdır. b köşe noktasının komşu noktaları a, e, d ve c noktalarıdır. Verilen çizgede a, e ve c noktalarının derecesi d(a)=d(e)=d(c)=2 olduğundan eşittir.

Bir çizgede her kenardan bir kez geçen gezenti için iki durum söz konusudur. Ya bütün köşe noktalarının derecesi çifttir, ya da sadece iki köşe noktasının derecesi tek olup diğerlerinin derecesi çifttir. I. maddede d(a)=d(e)=d(c)=2, d(b)=d(d)=4 olup hepsi çifttir.  II. maddede d(v)=d(x)=2, d(u)=d(w)=3 olup sadece iki köşe noktasının derecesi tektir. III. maddede  d(c)=d(b)=d(f)=d(d)=2, d(a)=5 ve d(e)=3 olup sadece iki köşe noktasının derecesi tektir. Dolayısıyla tüm çizgeler için her kenardan bir kez geçen gezenti mümkündür.

I. ve III. maddeler doğrudur. Verilen çizgenin kenarları kesişmediği için düzlemsel bir çizgedir. III maddenin açıklamasında Euler formülünü hatırlayalım. 

Bu futbol topları bir düzgün 20 yüzlünün köşeleri uygun bir şekilde kesilerek elde edilebilmektedir. Bu durumda 12 düzgün beşgen ve 20 düzgün altıgen ortaya çıkmaktadır. Bu cismin 12+20=32 yüzü ve 60 köşesi bulunmaktadır. Böylece Euler formülünü kullanarak 32+60=a+2 a=90 ayrıtı olduğu kolayca bulunabilmektedir

n köşe noktası olan bir çizgenin en fazla 3

Her biri beşgen olan 12 yüz olduğundan 12×5=60 köşesi vardır. Ancak her köşe 3 farklı yüze ait 60/3=20 köşe eder. Dolayısıyla düzgün 12 yüzlünün 20 köşesi vardır. O halde Euler formülünden 20+12=k+2 k=30 olarak bulunur.

Genel olarak konveks bir n-gen’in köşegen sayısını bulalım. Komşu köşeler hariç, seçilen herhangi iki köşe noktası tek bir köşegen belirler. Köşegen olarak sayılmayacak (komşu köşeler arasındaki köşegenler olan n kenarı çıkarırsak n(n-3)/2 olur. Soruda n=10 olarak verildiğinden cevap (10(10-3))/2=35 olarak bulunur.

Sadece kadınlar için koşul bulunduğundan köpeği de erkek gibi düşünebiliriz. Bu durumda erkek sayısı 5+1=6 olur. Bu 6 erkek yuvarlak masa etrafına (6-1)!=5!=120 farklı şekilde oturabilir. Şimdi 4 kadını erkeklerin arasına 15 farklı şekilde oturtursak kadınlar yan yana gelmez. Böylece cevap 15.5!=1800 olur.

I ve III çizge için doğru.

bölge sayısı + köşe noktalarının sayısı = kenar sayısı + 2 eşitliğinden köşe sayısı 5 dir.

Bir çizgede derecesi tek olan köşe noktalarının sayısı çift olmalıdır. e şıkkında tektir.

Bir çizgede kenar sayısı tüm köşelerin dereceleri toplamının yarısıdır. K6 tam çizgesinin her köşesinin derecesi 5 ve 6 tane de köşe noktası olduğundan 5.6/2=15 kenarı olduğu bulunur.

Derecesi tek sayı olan çift sayıda köşe noktası olması gerekmektedir. E şıkkında tek sayıda vardır.

b+6=15+2 eşitliğinden bölge sayısı 11 bulunur.

Bir çizgedeki tüm köşe noktalarının dereceleri toplamı çift sayı olması gerektiğinden dereceler toplamı 27 olamaz.