MATEMATİK II

diferansiyel denkleminin her iki tarafının x’e göre integrali alınırsa

olur.

eşitliğinde her iki tarafın x değişkenine göre türevi alınırsa

elde edilir. Eşitlikte

olur.

başlangıç değer probleminin çözülmesiyle bulunur. Bu diferansiyel denklemin çözümünün, adına Malthus modeli denilen

biçiminde bir üstel fonksiyon olduğu bulunmuştu. Buna göre başlangıç nüfusu ve artış oranının bu üstel fonksiyonda yerine yazılmasıyla 2016 yılından t yıl sonraki ülke nüfusu

olur. Buna göre 2023 yılında yaklaşık nüfus,

şeklinde elde edilir.

eşitliğinde x’e göre her iki tarafın integrali alınırsa

bulunur.

olur. Buradan 

olur. Eşitliğin her iki tarafının doğal logaritması alınırsa

Başlangıçtan itibaren t=12+6=18 saat sonraki bakteri sayısı istediğinden

olarak yazalım. Burada her iki tarafın integralini alırsak

 ve buradan da

diyecek olursak

olarak elde ederiz.

elde ederiz. y(0)=2 olması istendiğinden

ve c=1 bulunur.

elde edilir.

formunda yazarak her iki tarafı integre edersek

buluruz. Buradan

elde ederiz.

diyecek olursak y=cx elde ederiz.

formunda yazarak her iki tarafı integre edersek

buluruz. Buradan

elde ederiz.

diyecek olursak

elde ederiz. y(-1)=e  olması istendiğinden c=1 olur.

şeklindedir. Bu denklemin çözümü

olarak bulunur. Sorudaki verilere göre c  ve K sabitlerini belirlemeliyiz. Başlangıçta yani t=0  anında bakteri sayısı 1000 olduğundan y(0)=c=1000  olmalıdır. Diğer taraftan bakteri sayısının 8 saatte iki katına çıktığı verildiğinden

denklemini elde ederiz. Buradan

olarak bulunur. Böylece

ifadesi elde edilir.

olarak verilir. Bu denklem çözüldüğünde

ifadesi elde edilir. y(0)=4+c=20   eşitliğinden c=16   elde edilir. 30 dakika sonraki sıcaklık 8 derece ise

olmalıdır. Buradan K=-ln4/30 olmalıdır. Böylece ifade

olarak bulunur.

dy/y=(x+1)dx biçimine getirelim ve her iki tarafın integralini alalım. Böylece

elde ederiz. Bu ifadeyi düzenleyerek

Burada

dersek

y(2)=e  olduğundan

olmalıdır.

elde ederiz. y(0)=-1 olduğundan c=-1  bulunur. Böylece

elde edilir.

bulunur.

dersek denklemin genel çözümü olarak

elde ederiz.

ise 

ve buradan

bulunur.

ise

ve buradan

bulunur.

ve buradan

bulunur. y(0)=1 koşulundan c=1 ve böylece diferansiyel denklemin y(0)=1 koşuluna uyan çözümü 

bulunur.

denkleminden

bulunur. x=1 için y=1 başlangıç değer koşulundan 1=1/5 +c denklemine ulaşılır ve buradan c=4/5 bulunur. Diferansiyel denkleminin x=1 için y=1 başlangıç değerine sahip çözümü 

bulunur.

integralinden 

bulunur.