ASAL SAYILAR VE MODÜLER ARİTMETİK
Asal sayıyı tanımlayınız.
1'den büyük ve sadece kendisine ve bire bölünebilen sayılara asal sayı denir.
Asal olmayan sayılara ne ad verilir?
Asal olmayan sayılara "bileşik sayılar" denir.
Hem asal hem de çift olan bir sayı var mıdır?
Evet vardır. 2 hem asal, hem çift sayıdır.
Verilen bir tam sayıyı bölen asal sayıya ne ad verilir?
Asal bölen.
Aritmetiğin temel teoremi nedir?
Her n>1 doğal sayısı asal sayıların çarpımı ̧seklinde sıra değişikliği hariç tek türlü yazılabilir.
En büyük ortak bölen kavramını tanımlayınız.
“a” ve “b” gibi iki doğal sayıdan her ikisini de bölen doğal sayıların en büyük olanına, bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve ebob(a,b) ̧seklinde gösterilir.
En küçük ortak kat kavramını tanımlayınız.
“a” ve “b” gibi iki doğal sayıdan her ikisine de bölünen doğal sayıların en küçük olanına, bu sayıların en küçük ortak katı denir ve ekok(a,b) ̧seklinde gösterilir.
İki sayının aralarında asal olması için koşul nedir?
En büyük ortak bölenlerinin 1 olması gerekir.
Her ikisi de asal olmayan iki sayı aralarında asal olabilir mi?
Hayır olamaz. Sayılardan en az birinin asal olması gerekir.
100'den küçük en büyük asal sayı kaçtır?
97
Eratosthenes kalburu nedir, ne işe yarar, bir örnekle anlatınız?
Eratosthenes kalburu asal sayıları bulmaya yarar. Örneğin 1 ile 100 arasındaki asal sayıları bulmak istediğimizi düşünelim. İlk olarak 1’den 100’e kadar olan tüm sayıları bir tablo şeklinde yazalım. Sonra 2’nin katlarını eleyelim. Geriye kalan sayılardan ilki 3 olup, 3’ün katlarını eleyelim. Daha sonra geriye kalan ilk sayı 5 olup, 5’in katlarını eleyelim. Bu şekilde devam edersek, geriye kalan sayıların aradığımız asal sayılar olduğunu görürüz. Bu metoda eski Yunan Matematikçisi Eratosthenes tarafından bulunduğu için, Eratosthenes kalburu denir.
Bir sayının asal olup olmadığını bulmanın başka bir yöntemi var mıdır?
Evet. Eğer “n” tam sayısı bir bileşik sayı ise n=a·b formunda yazılabilir. Burada 1<a≤b<n olduğunu kabul edebiliriz. Bu durumda a*a≤a*b=n olup, buradan a≤kök(n)elde ederiz. Bu nedenle n sayısının kök(n)’i geçmeyen bir böleni, hatta bir asal böleni vardır.
Kaç tane asal sayı vardır?
Sonsuz tane asal sayı vardır. M.Ö. 300 civarında, Öklid, asal sayıların sonsuz olduğunu ispatlamıştır.
Asal sayıların en önemli kullanım alanı nedir?
Şifreleme ve veri güvenliği.
Bugün Pazartesi ise 29 gün sonra hangi gün olur?
Salı. 29 sayısını mod 7 cinsinden yazarsak 29=1(mod7) olur. Bu da bugüne 1 gün eklememiz gerektiği anlamına gelir.
İki sayının bir modüle göre denk olması için koşul nedir?
“a” ve “b” tam sayıları, sıfırdan farklı pozitif bir n tam sayısı tarafından bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa bu sayılara n modülüne göre denktir ya da kısaca mod(n)’ye göre denktir deriz.
12 bin ve 3 milyon sayıları mod9'a göre denk midir?
Evet. 12000=3(mod9) ve 3000000=3(mod9) olduğundan bu sayılar denktir.
Denklikler toplama, çarpma ve çıkarma işlemleri altında korunur mu?
Evet korunur. Yani a b'ye denk ise a*c de b*c'ye denk olur. Aynı şekilde a+c de b+c'ye denk olur.
42 ile 87'nin çarpımının 8'le bölümünden kalan kaçtır? Modüler aritmetik kullanarak hesaplayınız.
42'nin 8'e bölümünden kalan 2, 87'nin 8'e bölümünden kalan 7 olduğuna göre 2*7=14=6(mod8). Cevap 6'dır.
Bir bilinmeyenli doğrusal denkliklerin her zaman çözümü olur mu?
Bir bilinmeyenli bir doğrusal denkliğin çözümünün olması için gerek ve yeter koşul ebob(a,n) sayısının b sayısını bölmesidir. Denkliklerin her zaman çözümü yoktur. Örneğin 3x=5(mod6) denkliğini sağlayan hiçbir x tamsayısı yoktur.