MATEMATİK II - Deneme Sınavı - 3

Birinci satırdaki {2,-1,-2,0} sayılarının en küçüğü olan -2 birinci oyuncunun garantilenmiş kazancıdır.

Her satırın karşısına bu satırın en küçük elemanını, her sütunun altına o sütunun en büyük elemanını yazalım. Sağdaki {-2,-4,-3}  sayılarının en büyüğü (−2) sayısı oyunun aşağı değeri, alttaki {2,1,5,4} sayılarının en küçüğü olan 1 sayısı ise oyunun yukarı değeridir.

Her satırın karşısına bu satırın en küçük elemanını, her sütunun altına o sütunun en büyük elemanını yazalım. Sağdaki {-2,-4,-3}  sayılarının en büyüğü (−2) sayısı oyunun aşağı değeri, alttaki {2,1,5,4} sayılarının en küçüğü olan 1 sayısı ise oyunun yukarı değeridir.

1. satırı seçtiğinde garantilenmiş kazancı 2, 2. satırı seçtiğinde garantilenmiş kazancı -2 olduğundan toplamı 0 dır.

maks{-5,-3,-2}=-2, min{1,2,4,5}=1, (2.satır, 4.sütun) çifti maksimin-minimaks stratejileri çiftidir.

Sütunların en büyükleri 5,4,2 ve 3’tür. Bu sayıların en küçüğü 2 dir.  2’nin bulunduğu 3.sütun ikinci oyuncunun minimaks stratejisidir.

Satırların en küçükleri (-2, 0, -2) dir. Bu sayıların en büyüğü 0 dır. Sütunların en büyükleri  (4,4,5) dür. Bunların en küçüğü 4 dür. İkisinin çarpımı 0’dır.

1. sütun seçildiğinde garantilenmiş kayıp (1, 5, -1) sayılarının en büyüğü olan 5’tir. 2. sütun seçildiğinde garantilenmiş kayıp (-3, 4, 2) sayılarının en büyüğü olan 4’tür. Cevap 5+4 = 9’dur.

Satırların en küçükleri (-3, -1, -5) dir. Bu sayıların en büyüğü -1 dir. Bu sayının bulunduğu 3. satır birinci oyuncunun maksimin stratejisidir.

II. oyuncu birinci sütunu seçtiğinde {2,3,-3} sayılarının en büyüğü olan 3, ikinci sütunu seçtiğinde {-2,0,4}   sayılarının en büyüğü olan 4 ve üçüncü sütunu seçtiğinde {0,4,1} sayılarının en büyüğü olan 4 ve dördüncü sütunu seçtiğinde {1,-4,4} sayılarının en büyüğü olan 4 kayıplarını garanti eder. II. oyuncu minimizasyon yaptığı için bu sayıların en küçüğünün yer aldığı birinci sütunu seçer. Birinci sütunu seçtiğinde garantilenmiş olan kayıp 3 olur.

Her satırın sağına o satırın en küçüğünü, her sütunun altına da o sütunun en büyüğünü yazalım:

Eğer matriste bulunduğu satırda en küçük, bulunduğu sütunda ise en büyük olacak şekilde bir eleman varsa bu elemanın bulunduğu satır sütun numaralarına denge ikilisi denir. O halde bu soru için denge ikilisi vardır ve (2. Satır, 1. Sütun) denge ikilisi olur.

Her satırın sağına o satırın en küçüğünü, her sütunun altına da o sütunun en büyüğünü yazalım:

Eğer matriste bulunduğu satırda en küçük, bulunduğu sütunda ise en büyük olacak şekilde bir eleman varsa bu elemanın bulunduğu satır sütun numaralarına denge ikilisi denir. O halde bu soru için denge ikilisi vardır ve (2. Satır, 4. Sütun) denge ikilisi olur.

3. sütunda yer alan {-5,4,2}  sayılarının en büyüğü II. oyuncunun garantilenmiş kaybı olur.

2. satırda yer alan {1,5,4,2}  sayılarının en küçüğü I. oyuncunun garantilenmiş kazancı olur.

I. oyuncu birinci satırı seçtiğinde {-1,0,-1,2}  sayılarının en küçüğü olan -1, ikinci satırı seçtiğinde {2,0,4,-2} sayılarının en küçüğü olan -2, üçüncü satırı seçtiğinde {-4,3,1,3} sayılarının en küçüğü olan -4  ve dördüncü satırı seçtiğinde {-3,2,5,-3}  sayılarının en küçüğü olan -3 kazançlarını garanti eder. I. oyuncu maksimizasyon yaptığı için birinci satırı seçer. Birinci satırı seçtiğinde garantilenmiş olan kazanç -1’dir.

(3,2) ikilisinin birinci bileşeni 3, bulunduğu 1. Sütundaki birinci bileşenlerin en büyüğüdür (bu bileşenler 1,0 ve 3’tür). 2 sayısı da bulunduğu 3. satırdaki ikinci bileşenlerin en büyüğüdür (bu bileşenler 2,1 ve 0’dır). Bundan dolayı (3. Satır, 1. Sütun) denge ikilisidir.

2. sütunda yer alan  {-2,3,-1,-2} sayılarının en büyüğü II. oyuncunun garantilenmiş kaybı olur.

Önce aşağı değeri bulalım: I. oyuncu birinci satırı seçtiğinde  {1,0,3,-2} sayılarının en küçüğü olan -2, ikinci satırı seçtiğinde {-1,2,4,-1} sayılarının en küçüğü olan -1, üçüncü satırı seçtiğinde ise {-2,-3,1,2} sayılarının en küçüğü olan -3 getirilerini garanti eder.  I. oyuncu maksimizasyon yaptığı için bu getirilerin en büyüğü olan -1’i elde edeceği 2. satırı seçer. Dolayısıyla oyunun aşağı değeri -1 dir.

Benzer şekilde oyunun yukarı değerini bulalım: II. oyuncu birinci sütunu seçtiğinde {1,-1,-2} sayılarının en büyüğü olan 1, ikinci sütunu seçtiğinde {0,2,-3} sayılarının en büyüğü olan 2, üçüncü sütunu seçtiğinde {3,4,1} sayılarının en büyüğü olan 4 ve dördüncü sütunu seçtiğinde {-2,-1,2} sayılarının en büyüğü olan 2  kayıplarını garanti eder. II. oyuncu minimizasyon yaptığı için bu kayıpların en küçüğü olan 1’in bulunduğu birinci sütunu seçer. Birinci sütunu seçtiğinde garantilenmiş olan kayıp 1’dir. Dolayısıyla yukarı değer 1’dir. O halde oyunun aşağı ve yukarı değerlerinin toplamı -1+1=0 olur.

Her satırın sağına o satırın en küçüğünü, her sütunun altına da o sütunun en büyüğünü yazalım:

 maks{-1,0,-3}=0 ve min{0,2,1,3}=0  olduğundan (2. Satır, 1. Sütun) çifti maksimin-minimaks stratejileri çiftidir.

Her satırın karşısına en küçük elemanı, sütunların altına en büyük elemanı yazıp birincilerin maksimumunu, ikincilerin minimumunu bulalım:

maks{-2,-4,0}=0, min{0,3,2}=0. Sayılar eşit (= 0) çıktığı için bu 0’ın bulunduğu (3. satır, 1. sütun) denge ikilisidir. Başka bir deyişle bu 0 sayısı bulunduğu 3. satırda en küçük, bulunduğu 1. sütunda ise en büyüktür.