MATEMATİK II - Deneme Sınavı - 27

Bir çizgedeki tüm köşe noktalarının dereceleri toplamı çift sayıdır. Bu nedenle herhangi bir çizgede derecesi tek olan köşe noktalarının sayısı çift olmak zorundadır. Bu durumda köşe noktalarının derecelerinin oluşturduğu dizi eğer 1, 1, 1, 2, 2 olursa bu durumda köşe noktalarının dereceleri toplamı tek sayı olur. Zaten bu dizide derecesi tek olan köşe noktası sayısı da 3 olup çift olmamaktadır. Doğru cevap E’dir.

Bir çizgede her kenardan bir kez geçen bir gezinti varsa iki durum söz konusudur. Ya bütün köşe noktalarının derecesi çifttir ya da sadece iki köşe noktasının derecesi tek olup diğerlerinin dereceleri çifttir. Bu durumda bölgeler köşe noktası olmak üzere bu köşe noktalarının tümünün derecesi tek olamaz. Doğru cevap A’dır.

Verilen çizgede d köşe noktası ile b köşe noktasını birleştiren bir kenar olmadığı için b köşe noktası d köşe noktasının bir komşusu değildir. Doğru cevap B’dir.

Evet olabilir. 8 ve 9 veya 4 ve 9 buna örnek verilebilir. Bu sayılar asal olmadıkları halde aralarında asaldır.

Verilen maddelerden birinci madde hariç diğerleri doğrudur. Davete katılanlardan üçünün ikişer, ikisinin üçer ve birinin beşer kişi ile tokalaşması mümkün değildir. Çünkü bir çizgede derecesi tek olan köşe sayılarının sayısı çifttir. Bu durumda davete katılanlardan dördünün ikişer, ikisinin üçer kişi ile tokalaşması mümkündür. Davete katılanların hepsi ikişer kişi ile tokalaşırsa her bir köşenin derecesi 2 olur ve tokalaşma sayısı dereceler toplamının yarısına eşittir. Yani toplam 6 tokalaşma gerçekleşir.

Verilen maddelerden birinci madde hariç diğerleri doğrudur. Derecesi en büyük köşe noktası e değil b ve d noktalarıdır. b köşe noktasının komşu noktaları a, e, d ve c noktalarıdır. Verilen çizgede a, e ve c noktalarının derecesi d(a)=d(e)=d(c)=2 olduğundan eşittir.

Bir çizgede her kenardan bir kez geçen gezenti için iki durum söz konusudur. Ya bütün köşe noktalarının derecesi çifttir, ya da sadece iki köşe noktasının derecesi tek olup diğerlerinin derecesi çifttir. I. maddede d(a)=d(e)=d(c)=2, d(b)=d(d)=4 olup hepsi çifttir.  II. maddede d(v)=d(x)=2, d(u)=d(w)=3 olup sadece iki köşe noktasının derecesi tektir. III. maddede  d(c)=d(b)=d(f)=d(d)=2, d(a)=5 ve d(e)=3 olup sadece iki köşe noktasının derecesi tektir. Dolayısıyla tüm çizgeler için her kenardan bir kez geçen gezenti mümkündür.

I. ve III. maddeler doğrudur. Verilen çizgenin kenarları kesişmediği için düzlemsel bir çizgedir. III maddenin açıklamasında Euler formülünü hatırlayalım.