MANTIĞIN GELİŞİMİ

Mantığın matematikle olan ilişkisi oldukça verimli biçimde iki yönlü olarak gelişmiştir. Amaçlandığı gibi, mantık matematiğin daha kurallı bir bilim olmasını sağlamış ve matematikte (sonsuz-küçük sayılara yer veren) standart dışı analiz gibi yeni alanların ortaya çıkmasını sağlamıştır. Diğer yandan, mantığın tam olarak biçimselleşmesinin ardından matematiğin kavram ve yöntemlerine mantık sistemlerinin özelliklerini ortaya koymak için başvurma olanağı doğmuştur.

Yaygın kanıya göre doğru matematik önermeleri aynı zamanda hem zorunlu (yani deneyimle yanlışlanamayan) hem de dünya hakkında bilgi veren önermelerdir. Bunun nasıl olanaklı olduğu matematik felsefesinde ortaya çıkan ilk sorulardan biridir. Bu soru aynı zamanda matematiğin varlık bilgisini (ontoloji) ve bilgi kuramını (epistemoloji) birleştiren en temel sorular arasındadır.

Begriffsschrift’in alt başlığı şudur: “Aritmetiğin Dilini Örnek alan bir Salt Düşünce Dili”. Bir salt düşünce dili olması mantığın evrensel karakterini belirtmektedir. Frege’nin de kabul ettiği evrenselci mantık anlayışına göre mantık konu-bağımsızdır ve bu sayede her konuya uygulanabilir. Yani, bir çıkarımın mantık bakımından geçerli olması uygulandığı konu, bir başka deyişle çıkarımı oluşturan önermelerde adı geçen nesnelere, özelliklere dayanmaz.

Meslek yaşamının ilk dönemini kapsayan mantık çalışmalarında Russell çağdaş mantık, mantık   felsefesi, matematik felsefesi ve mantığın dil felsefesi sorunlarına uygulaması konularında önemli sonuçlara varmıştır.

Gödel, 1924 yılında  Viyana Üniversitesine, kabul edilmiştir  burada fizik, matematik ve felsefe derslerine devam etmiştir. Bu üniversitede Rudolf Carnap ve Hans Hahn’dan mantık öğrenme olanağı da bulmuştur.

∀x Sx ≠ 0 (0 hiçbir sayının ardılı değildir.)

Sx = Sy → x = y (Her sayının bir tek ardılı vardır)

S sistemi tutarlı olduğunda sistemin dilinde belirten önerme, Con(S), S sisteminde kanıtlanamaz.

Banach-Tarski teoremi: S = {(x,y,z) _ R3 : x2 + y2 + z2 < 1} noktalar kümesi ile belirlenen 3-boyutlu birim küreyi sonlu sayıda parçaya bölelim. Bu parçalardan, sadece döndürme ve taşıma ve yeniden birleştirme ile (bu işlemler sırasında bir parçanın diğeri içinden geçmesine izin vererek) S küresinin iki kopyası  elde edilebilir.

S bir belit sistemi olsun. Bu sistemin dilinde yazılan bir A önermesi için, eğer ne bu A önermesi ne de A önermesinin değili S sisteminin teoremleri arasında değil ise, A önermesi S sisteminde bağımsız bir önermedir. Gödel seçim belitinin küme kuramının diğer belitlerinden bağımsız olduğunu, yani ne seçme belitinin ne de değilinin küme kuramı belitlerinden kanıtlanamayacağını göstermiştir.

Russell’ın mantık görüşünü izleyebilmek bakımından önemli eserleri; Matematiğin İlkeleri (1903), Matematiksel Felsefeye Giriş (1919) kitapları ile 1908 yılında yayınlanan Tipler Kuramı Üzerine Kurulmuş Olarak Matematiksel Mantık başlıklı makalesidir.

Çağdaş mantığın kurucusu sayılan ünlü bilim adamı Frege'dir. Frege ne geleneksel mantığın (Aristoteles mantığı) ne de döneminde yaygın kabul gören mantık sistemi olan Boole mantığının mantıkçı programını gerçekleştirmek bakımından yeterli olmadığı sonucuna varmıştır. Bu düşünceyle, Frege mantıkçı programının ilk adımını gerek duyduğu bir mantık sistemi oluşturmaya girişerek atmıştır. Bu çabasının ilk ürünü 1879 yılında yayımlanan Beggriffschrift (Kavram Yazısı) başlıklı çalışmasıdır.