İSTATİSTİK

İstatistik teorisinde kullanılan sürekli olasılık dağılımlarından en önemlisi olan Normal dağılımdır. Normal olasılık dağılımının şekli çan eğrisi biçimindedir ve merkezinde tek bir tepe noktasına sahiptir. Dağılımın aritmetik ortalama, mod ve medyan değerleri eşittir ve bu değerler dağılımın merkezinde yer alırlar. Dolayısıyla, normal eğrinin altında kalan alanın yarısı bu noktanın sağında, diğer yarısı da bu noktanın solunda yer alır. Buna göre, dağılım aritmetik ortalama, mod ve medyana göre simetrik bir görünümdedir. Dağılım eğrisi, merkez değerinden her iki yöne doğru düzgün bir şekilde azalır. Dolayısıyla, dağılım asimptotiktir. Bu da, eğrinin X-eksenine gitgide yaklaştığı, ancak hiçbir zaman kesmediği anlamını taşır. Bir başka deyişle, eğrinin iki ucu teorik olarak X-ekseni ile sonsuzda kesişir. Sonuç olarak, Normal dağılım kesikli değil, sürekli bir olasılık dağılımıdır. Doğru yanıt C'dir.

Standart normal eğri altında z=0’dan z=1,96’ya kadar olan bölgenin alanı bulmak için standart normal dağılım tablosunda z sütununda 1,9 değerini bulunur. Daha sonra, bu satırda sağa doğru ilerlenir ve 0,06 ile başlayan sütunun altındaki alan 0,4750 olarak bulunur.
Dolayısıyla, z=0’dan z=1,96’ya kadar olan bölgenin alanı 0,4750 olur. Soruda eğrinin altında ve z=1,96’nın solunda kalan alan sorulduğu için, 0,4750 değerine tüm alanın yarısı olan 0,5 değerini eklemek gerekir. P(z<1,96)=0,4750+0,5=0,9750 ’dir.

P(0<z<a)=0,3413’tir. Bu "z=0’ dan z=a'ya kadar olan bölgenin alanı 0,3413’e eşittir" demektir. İlk olarak standart normal dağılım tablosundaki alan değerlerinden 0,3413 değeri bulunur.
Bulunan 0,3413 değeri için standart normal dağılım tablosunda z sütunu ve satırındaki değerler belirlenir. Bu değerler 1,0 ve 0,00’dır. Dolayısıyla “a” değerine eşit olan aranan z değeri bu iki değerin birleştirilmesiyle 1,00 olarak bulunur. (0</z<a)=0,3413’tir. Doğru yanıt D'dir.

Kesikli olasılık dağılımları arasında uygulamalarda en sık rastlanan olasılık dağılımı Binom dağılımıdır. Dağılımın en önemli özelliği, aynı koşullarda tekrarlanan denemelerin her tekrarında yalnızca iki olası sonuç bulunur. Binom denemelerindeki olası iki sonuç genellikle “başarılı-başarısız”, “var-yok”, “ölü-sağ”, “pozitif-negatif” v.b.  ikililer olarak sınıflandırılır. Binom dağılımının bir diğer özelliği, rassal değişkenin aldığı değerlerin sayma yoluyla elde edilmesidir. Diğer bir deyişle binom denemesinde, toplam deneme sayısındaki istenilen sonuçların sayısı sayılır.  Binom dağılımının üçüncü özelliği, ilgilenilen sonucun gerçekleşme olasılığının denemeden denemeye değişmeyerek sabit kalmasıdır.  Binom dağılımına ilişkin son özellik, yapılan denemelerin birbirinden bağımsız olarak gerçekleştirilmesidir. Diğer bir deyişle, bir denemenin sonucu başka bir denemenin sonucunu herhangi bir şekilde etkilemez. Sonuç olarak, ilgilenilen sonucun gerçekleşme olasılığı denemeden denemeye farklılık göstermez. Doğru yanıt B'dir.

n faktöriyel (n!), 
n!=n(n-1)(n-2)...2.1=n(n-1)! şeklinde hesaplanmaktadır. Buna göre

elde edilir. Doğru yanıt A'dır.

Seçilecek nesnelerin diziliş sırası önemli değilse, yapılan her bir seçime bir kombinasyon adı verilir. n adet nesneden oluşan bir kümeden r nesnelik kombinasyon sayısı;

ile hesaplanır. 10 kişilik bir basketbol takımından
farklı ilk 5 maça başlayabilir. Doğru yanıt D'dir.

A ve B gibi iki olay için genel toplama kuralı;

eşitliği ile verilir. P(A veya B) ifadesindeki “veya” kelimesi A’nın ya da B’nin gerçekleşebileceğini öne sürmektedir. Bu ifade, A ve B olaylarının birlikte gerçekleşmesi olasılığını da içermektedir.

0,6=0,4+0,5-P(A ve B)

Buna göre A ve B olaylarının birlikte ortaya çıkma olasılığı (P(A ve B));
P(A ve B)=0,5+0,4-0,6=0,3 bulunur. Doğru yanıt C'dir.

Bir olay gerçekleştiği anda diğer olayların hiçbiri gerçekleşmiyorsa, bu olaylara karşılıklı ayrık olaylar adı verilir. Eğer bir deneme, olası tüm sonuçları içeren bir olaylar kümesinden oluşuyorsa, bu olaylar kümesine bütüne tamamlayan olaylar adı verilir. Bir olayın gerçekleşmesinin, bir diğer olayın gerçekleşme olasılığını etkilememesi durumunda bu iki olaya bağımsız olaylar adı verilir. Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara bağımlı olaylar adı verilir. Doğru yanıt A'dır.

Uygulama için 10, teorik araştırmacı için 9 kişi söz konusudur. Permütasyon kuralına göre n=10 ve r=2 olmak üzere,
olarak hesaplanır.

Rassal değişkenin 96’dan fazla olma olasılığını bulabilmek için öncelikle bu X değerine karşılık gelen z değeri hesaplanmalıdır. Diğer bir deyişle, z dönüşümü uygulanmalıdır. x=96 noktasına karşılık gelen z değeri,

olarak elde edilir. Buna göre soruda istenen olasılık; z=2 değerinin sağında kalan bölgenin alanı olacaktır. Dikkat edilirse aritmetik ortalamanın (ya da z=0 noktasının) sağında ve normal dağılım eğrisinin altında kalan bölgenin alanı, toplam alanın yarısı olan 0,5’tir. Standart normal dağılım tablosuna göre z=0 ile z=2 arasındaki bölgenin alanı 0,4772 olarak bulunur. Buna göre, soruda istenen olasılığı bulabilmek için 0,5 değerinden, z=2 değerine karşılık gelen alanı, yani 0,4772 değerini çıkartmak gerekir. 0,5 – 0,4772 = 0,0228 olarak hesaplanır.

 

Çeşitli olası gözlemlerden yalnızca birinin gerçekleşmesi ile sonuçlanan sürece deneme adı verilir. Bir denemenin iki ya da daha fazla olası sonucu bulunur ve bu sonuçlardan hangisinin gerçekleşeceği belirsizdir. Bir denemenin sona erme biçimine sonuç adı verilir. Örneğin, tek bir bozuk paranın atılması bir denemedir. Bir denemenin tüm olası sonuçlarından oluşan kümeye örneklem uzayı adı verilir ve bu küme S harfi ile ifade edilir. Denemenin olası tüm sonuçlarına örneklem uzayının bir elemanı karşılık gelir. Bu elemana da örneklem uzayı noktası adı verilir.

Olasılık tanımlarına ilişkin, nesnel (objektif) ve öznel (subjektif) olasılık olmak üzere iki yaklaşım bulunur. Nesnel olasılık, klasik olasılık ve deneysel olasılık olmak üzere iki kısımda incelenir. Klasik olasılık eşit olasılıklı sonuçlara dayanırken deneysel olasılık göreli sıklıklara dayanır. Öznel olasılık ise eldeki mevcut bilgilerden elde edilen olasılıktır. Deneysel olasılık yaklaşımında bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak için, geçmişte benzer olayların gerçekleşme sayısının oranına bakılır. Geçmişte ortaya çıkan olayların sayısı f ile ve toplam gözlem sayısı N ile belirtildiğinde deneysel olasılık yaklaşımıyla bir A olayının gerçekleşme olasılığı;
P(A)=f/N ile hesaplanır.