İNTEGRAL VE UYGULAMALARI

Düzlemde sonlu sayıda dogru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşturulan kapalı bölgeye çokgensel bir bölge denir

Riemann toplamı, bir eğrinin altındaki alanı çok sayıda basit şekle (dikdörtgenler veya yamuklar gibi) bölerek belirlenmiş olan, bu alanın yaklaşık değeridir.

Oluşturulan Riemann toplamında bölüntüdeki nokta sayısı artırıldıkça karşılık gelen değerler sabit bir sayıya yaklaşır. Bu sabit sayıya f fonksiyonunun [a, b] aralığı üzerindeki belirli integrali denir ve bu sayı

sembolüyle gösterilir.

 sembolüne integral, a’ya integralin alt sınırı, b’ye integralin üst sınırı, f(x)’e integrand, dx’e diferansiyel denir. Buradaki dx ifadesi Riemann toplamındaki ∆x’ten esinlenerek yazılmaktadır ve integralin hangi degişkene göre hesaplandığını belirtir.

Türev demek değişim oranı ya da hız demektir. Fonksiyon verildiğinde bunları hesaplayabiliyorduk. İntegral probleminde ise, bir olayın hızını ya da değişim oranını biliyorken, olayın kendi formülünü bulmaya çalışıyoruz.

2x’in tüm ilkelleri, uygun bir c için x²+c formundadır. x²+c ¸seklindeki ifadeler c sayısına bağlı bir fonksiyon ailesidir. Bu aileye 2x fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve bunun için gösterimi kullanılır.

F(x) fonksiyonunun türevi f(x) fonksiyonuna eşit ise, yani F'(x) = f (x) oluyorsa, F(x) fonksiyonuna f (x)’in bir ilkeli denir.

F(x) fonksiyonu, f(x) fonksiyonunun bir ilkeli ise, F(x) + c ailesine f (x) in belirsiz integrali denir ve  . Bunu  şeklinde de yazabiliriz 

u = g(x) türevlenebilir fonksiyonu için du = g'(x) dx ifadesine u’nun diferansiyeli denir ve integral hesaplarında kullanışlı bir araçtır.

 integralinde, iki tane fonksiyon türevi ve bileşkeler olduğu için, Verilen integralde u=g(x) denilirse u’nun diferansiyeli du = g'(x) dx olur, bunları  integralinde yazarsak,  eşitliğini buluruz. Verilen bir integrale bu gözle bakılıp, sonra  x değişkenine geri dönülebilir.

4.dereceden ifadenin açılımını yapmak çok fazla işlem gerektirir. O nedenle burada değişken değişimi yapmak uygun olur. 

u = 2x +1 değişken değişimi ile, du = 2dx olur, buradan da dx = 1/2 du olur. Bu ifadeler integralde yerine yazılırsa;

 eşitliği elde edilir. Simdi son ifadede u gördügümüz yere 2x + 1 yazacak olursak istenilen integral

 olarak bulunur.

Bir fonksiyonun belirli integrali o fonksiyonun bir ilkeli yardımıyla kolayca hesaplanabilir.

Integral hesaplarında bu fark için gösterimi kullanılır. Bu gösterime göre Temel Teorem  seklinde de yazılabilir. 

Bu bölgenin alanı  seklindeki integralle bulunur. Bu integrali hesaplarsak  

 birim kare olur.

f fonksiyonunun [a, b] aralığı üzerindeki ortalama değeri   seklinde tanımlanır.

Bu eşitlik  şeklinde de ifade edilir.

Bu problemin çözümü fonksiyonunun [0, 6] aralığı üzerindeki ortalama değerini bulmaktan ibarettir.