TÜREV VE UYGULAMALARI

Türev bir niceliğin bir başka niceliğe göre değişim oranını ifade eden kavramdır. Örneğin, hava sıcaklığının yere ve zamana göre değişimini; bir uçağın ya da otomobilin konumunun değişimini; elde edilecek gelirin üretilen mal miktarına göre değişimini; gök cisimlerinin birbirlerine göre konumlarının değişimini ifade etmek için türev kavramından yararlanmamız gerekir.

Ortalama hızı, alınan toplam yolun geçen toplam süreye oranı olarak tanımlanır. Bir doğru üzerinde hareket eden bir cismin kat ettiği yolu zamanın fonksiyonu olarak  f (t) ile gösterirsek -ki buna konum fonksiyonu denir  [t₁, t₂] gibi bir zaman aralığındaki ortalama hızı  oranı ile hesaplanabilir.

 f(t) = 16t²  fonksiyonu için  formülünde t₁ = 0 ve t₂ = 2 alırsak,  

ortalama hız elde edilir.

x değişkenini x₀ dan farklı değerlerle, her iki yandan da x₀ noktasına yeteri kadar yaklaştırdığımızda, f(x) fonksiyonunun alacağı değerler bir L sayısına yeteri kadar yaklaşıyorsa, o zaman bu L sayısına f(x) fonksiyonunun x₀ noktasındaki limitidir deriz. Sembolik olarak gösterimi kullanılır.

Bir x₀ noktasına her iki yandan da yaklaşıyoruz dediğimizde hem x₀’dan küçük değerlerle, hem de x₀’dan büyük değerlerle yaklaştığımızı kastediyoruz. Ayrıca, fonksiyonun x₀’da alacagı değerden ziyade, x₀ noktasına çok yakın yerlerde alacağı  değerler ile ilgilendiğimizden, fonksiyonun x₀ noktasında tanımlı olması bile gerekli değildir. O yüzden de tanımı verirken x noktalarının x₀ noktasından farklı olduğunu belirtiyoruz.

Verilen örnek belli bir noktada limiti olmayan fonksiyon örneğidir. Fonksiyonun grafiği çizilirse, fonksiyonun sağdan yaklaşıldığında yaklaşık 3, soldan yaklaşıldığında 2 değerini aldığı gözlemlenir. Sağdan ve soldan limitleri farklı ise, limiti yoktur denir.

Fonksiyonun grafiğinden de görüleceği gibi x sayısı 2 değerine yaklaşırken, fonksiyonun aldığı değerler de fonksiyonun x = 2 noktasında aldığı değere yani 7 sayısına yaklaşacaktır. 

Bir x₀ noktasını içeren bir aralıkta tanımlanan bir f (x) fonksiyonu verilsin. Eğer  limiti varsa bu limit değerine f(x) fonksiyonunun x₀ noktasında türevidir deriz. Türev için  gösterimlerinden biri kullanılabilir. Eğer fonksiyon tanım kümesi üzerindeki her noktada türevlenebiliyorsa, bu fonksiyona türevlenebilir fonksiyon denir.

Belirli bir x₀ noktasındaki türevi şöyle de tanımlayabiliriz:  

Türevin değişim hızını ifade eder. x değişkeninde bir değişim olduğunda sabit fonksiyonun değerinde herhangi bir değişme olmadığından sabit fonksiyonun türevi sıfırdır. 

Sürekli fonksiyonlar, grafiklerini kalemimizi kağıttan hiç kaldırmadan çizebildiğimiz, diğer bir deyişle grafiklerinde herhangi bir kopma ya da sıçrama olmayan fonksiyonlardır.

Dikkat ederseniz mutlak deger fonksiyonunun grafiğinde hiçbir kopma yoktur. Bu fonksiyon x = 0 noktasında süreklidir. Tanımı kullanarak türevine bakarsak, x=0 noktasında türevinin olmadığını görürüz.

Fonksiyonun grafiğine dikkat ederseniz x = 0 noktasında bir köşe yaptığını görürsünüz. İşte genel olarak fonksiyonların bu tür köşe noktalarında türevleri olmayacaktır. O halde her sürekli fonksiyonun türevlenebildiği yanılgısına düşmeyin.

f ve g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilsinler. Bu durumda bu iki fonksiyonun toplamının x noktasındaki türevi, türevlerinin toplamına eşit olur

Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşit olduğundan,

 olarak bulunur.

Çarpımın türevi, türevlerin çarpımına eşit değildir ! “tesadüfler dışında!”

 (Birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci)

Bir fonksiyonun sabit sayıyla çarpımının türevi, türevinin aynı sabitle çarpımına eşittir.

Burada f(x) = 2x − 1 ve g(x) = x² − 6x alabiliriz. h(x) = f (x) g(x) biçiminde olur ve çarpım kuralını hemen uygulanabilir.

 ile hesaplanır.

R(51) − R(50)=(200 × 51 − 51²) − (200 × 50 − 50²) = 99 TL

Çözümün diğer bir yolu için, Türevin anlık değişimi verdiğini biliyoruz. O halde gelir fonksiyonumuzun x = 50 için türevini hesaplarsak

elde ederiz. Bu değer yukarıda hesaplanan değere oldukça yakındır ve yukarıda elde edilen deger yerine kullanılabilir. İktisadi uygulamalarda gelir fonksiyonunun türevine marjinal gelir fonksiyonu denir ve satılan mal miktarındaki bir birimlik artış için gelir fonksiyonundaki artışı (belki de azalışı) ifade eder. Gelirdeki degişimi hesaplamak için gelir fonksiyonunun türevinden yararlanırız

Eğimi m olan ve bir (x₀, y₀) noktasından geçen doğru denklemi 

y − y₀ = m(x − x₀) ile ifade edilir.

Ilk defa Italyan Fizikçisi Galileo tarafından açık bir sekilde tarif edildigi bilinen ivme, belirli bir yönde hareket etmekte olan bir cismin
hızının belirli bir zaman aralıgındaki değişim miktarıdır. Başka bir deyişle ivme, bir cismin hızının değişim hızıdır.

Hızı, konum fonksiyonunun zamana göre değişimi, yani birinci türevi olarak tanımlanmıştı. Benzer bir yaklaşımla hızın zamana göre değişimini de hesaplayabiliriz. Elde edilen niceliğe ivme denir ve bu nicelik konum fonksiyonunun zamana göre ikinci mertebeden türevinden başka birsey değildir. 

Bir f (x) fonksiyonunun tanım kümesinden alınan keyfi x1, x2 noktaları için x1 < x2 iken f (x1) < f (x2) oluyorsa f (x) fonksiyonuna artan fonksiyon; eger,  x1 < x2 iken f (x1) > f (x2) ise bu durumda da f (x) fonksiyonuna azalan fonksiyon denir.

Bu bilgileri verilen  tablo şeklinde de ifade edebiliriz. O halde gelirimiz satılan mal miktarı [0, 100] aralığında iken artmakta, [100, 200] aralığında iken azalmaktadır. Demek ki satış miktarı 100 birim olduğunda en çok gelir elde edilir