FONKSİYONLAR

Boş kümeden farklı A ve B kümeleri alalım. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu, A kümesinin her elemanına B kümesinin bir tek elemanını karşılık getirir. Burada A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu  şeklinde gösterilir.

Burada A kümesi tanım kümesi, B kümesi değer kümesidir.

• Fonksiyonlarda Tanım kümesinde boşta eleman kalmaz, değer kümesinde boşta eleman kalabilir.
• Tanım kümesinde bir eleman değer kümesinde sadece bir eleman ile eşleşebilir.

A kümesinin elemanı olan 2, B kümesinin hem b hem de c elemanıyla, yani birden fazla elemanıyla eşlendiğinden bir fonksiyon olamaz. Diğer eşlemede ise A kümesinin elemanı olan 3, B kümesinin hiçbir elemanıyla eşlenmemiştir. Bu yüzden bu eşlemeler fonksiyon olamaz.

• Fonksiyonlarda Tanım kümesinde boşta eleman kalmaz, değer kümesinde boşta eleman kalabilir.
• Tanım kümesinde bir eleman değer kümesinde sadece bir eleman ile eşleşebilir.

f : A  B fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f ’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A) olarak gösterilir. O halde f ’nin görüntü kümesi,

f (A) = {f (a) | a  A} kümesidir.

f : A  B fonksiyonu  A kümesinin her elemanını B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f ’ye sabit fonksiyon denir. Yani c  B olmak üzere, A kümesinden alınan her a elemanı için f (a) = c ise f ’ye sabit fonksiyon denir.

A = {1, 2, 3} kümesinden B = {a, b, c, d} kümesine bir sabit fonksiyon. (A’nın tüm terimlerini c’ye götürüyor)

f, bire-bir fonksiyondur. 

f : A → B fonksiyonu verilsin. x₁, x₂∈ A olmak üzere x₁ ≠ x₂ iken f (x₁)≠ f(x₂) oluyorsa, buna denk olarak f (x₁) = f (x₂) iken x₁ = x₂ ise f’ye bire-bir fonksiyon denir. 

f : A → B fonksiyonu verilsin. Her b ∈ B için f (a) = b olacak şekilde bir a ∈ A varsa, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Ya da buna denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona, örten fonksiyon denir. Yani f : A → B fonksiyonu için f (A) = B ise f örtendir.

f, g : A→ B fonksiyonları verilsin. Eğer tanım kümesinden aldığımız her a elemanı için, f (a) = g(a) oluyorsa, f ile g fonksiyonları eşittir.

f : A→ A fonksiyonu A kümesinin her a elemanını yine a ile yani kendisi ile eşliyor ise f ’ye A kümesinin birim fonksiyonu denir. Birim fonksiyon genelde f yerine I ile, veya tanım kümesini vurgulamak için I_A ile gösterilir.

A = {1,2,3} kümesinin birim fonksiyonu; 

f : A → B, bire-bir örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda, f fonksiyonunun ters fonksiyonu f⁻¹ile gösterilir.

f⁻¹: B → A fonksiyonu b ∈ B için f⁻¹(b) = a olarak tanımlanır. Burada a, f (a) = b eşitliğini sağlayan yegane elemandır.

f : A → B, g : B → C fonksiyonları verilsin. Bu durumda g ◦ f : A→ C, (g ◦ f )(a) = g(f (a)) fonksiyonuna, f ile g fonksiyonunun bileşke fonksiyonu denir.

f (x) = x²+ x −2 ifadesinde, x gördüğümüz yere 3 yazarsak

f (3) = 3²+3−2 = 9+3−2 = 10 olarak buluruz.

Mutlak değer fonksiyonunu, parçalı tanımlı bir fonksiyon olarak ifade edebiliriz.

Fonksiyon, 1’den küçük olan bir x sayısını 2x + 3 sayısına; 1’e e¸sit ya da 1’den büyük olan bir x sayısını da x³−5 sayısına gönderiyor.

f(-2)’ yi bulalım. −2 sayısı 1’den küçük olduğundan (−2 < 1),

f (−2) = 2·(−2)+3 = −4+3 = −1 dir.

 f (2)’yi bulalım.  2 sayısı 1’den büyük olduğundan (2 ≥ 1),

f (2) = 2³−5 = 8−5 = 3 olur.

 olarak tanımlanır.

Bu fonksiyonların her biri R’den R  ye fonksiyonlardır.

Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. O halde x +1 ≥ 0 yani x ≥ −1 olmalıdır.

Dolayısıyla, D_g= [−1,∞).

Görüntü kümesi değer kümesine eşit mi yani? Bunun için değer kümesinden keyfi y elemanı alıp,

f (x) = y olacak biçimde x’in olup olmadığına bakacağız. Aldığımız keyfi y için bu özellikte bir x varsa, fonksiyon örtendir diyeceğiz.

y = x + 5 denkleminden x = y − 5 olur. Yani x = y − 5 için f (x) = y’dir. O halde, f örtendir.

Kartezyen koordinat sistemi

x=0 için f(x)= y =-2……..(0,-2) noktası

y=0 için f(x)=0 ise; x=2….(2,0) noktası

 f (x) = x −2 fonksiyonunun grafiği.

Doğru üzerinde alınan farklı her hangi iki noktanın, ordinatları (y-ekseni) farkının apsisleri (x-ekseni)  farkına oranı sabittir. Bu orana doğrunun eğimi diyoruz.