Klasik Doğrusal Regresyon Modelinin Varsayımlarından Sapmalar II

Şu ana kadar hataların varyansının sabit ve σ2’ye eşit olduğu varsayılmıştır, bu eşvaryans varsayımı olarak bilinir. Hataların varyansı sabit değilse değişen varyanslı olduğu söylenir.

Hata teriminin değişen varyanslı olmasının çeşitli nedenleri olabilir. Bunlar içinde en yaygın olanları aşağıdaki gibidir:

1. Ölçek etkileri
2. Öğrenme etkileri
3. Veri toplama tekniklerindeki gelişmeler
4. Aykırı değerler
5. Model kurma hataları
6. Diğer Nedenler

Değişen varyansın neden olduğu sonuçlar;

1. SEKK tahmincileri doğrusal ve sapmasız olma özelliklerini korumakta ancak minimum varyanslı olma özelliklerini kaybetmektedirler.
2. SEKK tahmincilerinin varyans ve standart hataları yanlış sonuçlar vermekte, bunun sonucu güven aralığı ve hipotez testleri (t ve F) anlamlarını kaybetmektedir
3. Belli bir X değerine karşılık gelen Y öngörüsü yüksek varyanslı olacak, dolayısıyla etkin olmayacaktır.

Hataların değişen varyanslı olup olmadığını aşağıdaki testler kullanılarak tespit edilebilir;

• Spearman Sıra Korelasyonu Testi
• Goldfeld-Quandt Testi
• White Testi

Değişen varyans sorunu ile karşılaştığımızda olası model kuruluşu hatalarına karşı denetledikten sonra modelde hâlâ değişen varyans sorunu devam ediyorsa bunu düzeltmeye yönelik üç alternatif yaklaşıma sahibiz. Bunlar, (i) ağırlıklı en küçük kareler, (ii) verileri dönüştürme ve (iii) değişen varyansla uyumlu standart hataları kullanmadır.

Ağırlıklı en küçük kareler başlangıçta değişen varyanslı modeli değişen varyansın biçimi hakkındaki bilgiyi kullanarak eşvaryanslı hâle getirmeyi amaçlar. Modeli varyansın ilişkili olduğu değişkenin kareköküne bölerek bir dönüştürülmüş model elde eder.

Bu yaklaşım, değişkenleri logaritmalarına dönüştürerek veya başka bir “boyut” ölçüsü ile ölçeği daraltılması içerir. Aynı zamanda aykırı gözlemleri de yeniden ölçeklendirme etkisine sahiptir. Regresyon bu durumda doğal logaritmalar veya dönüştürülmüş veriler üzerinden gerçekleştirilir.

KDRM’nin hata terimi hakkında dördüncü varsayım, hata terimleri arasında ilişki olmaması, yani hata terimleri arasındaki kovaryansın sıfır olmasıdır. Başka bir deyişle, hataların birbirleriyle ilişkisiz olduğu varsayılmaktadır. Hatalar birbirleriyle ilişkisiz değillerse “otokorelasyonlu” veya “ardışık bağımlı” oldukları belirtilir. Bu nedenle bir ekonometrik araştırmada bu varsayımın bir test edilmesi gerekir.

Otokorelasyon zaman serisi verileri için geçerli bir problemdir.

Hata terimleri arasında ilişki yoktur” varsayımı geçerli olmayıp hata teriminin bir dönem önceki hata terimli ile ilişkili ise aşağıdaki gibi gösterilir:
u_t = ρu_{t – 1} + v_t                                 -1< ρ < 1 (7.5)
burada ρ otokorelasyon katsayısı olarak adlandırılır ve -1 ile 1 arasında bir değer alır. Eğer ρ = 0 ise otokore- lasyon olmadığı, eğer 0 ile 1 arasında ise pozitif otokorelasyon ve 0 ile -1 arasında ise negatif otokorelasyon bulunduğu anlamına gelir.

İktisadi zaman serilerinde genellikle pozitif otokorelasyonla karşılaşılır. Örneğin ρ = 0.8 ise hata teriminin bir dönem önceki değerleriyle pozitif olarak ilişkili olduğu anlamına gelir.

Hataların bir önceki dönem değerleriyle ilişkili olması durumu birinci dereceden otokorelasyon veya ardışık bağımlılık olarak adlandırılır ve AR(1) olarak gösterilir. Hatalar daha üst dereceden de otokorelasyon içerebilir.

Yıllık zaman serilerinde otokorelasyonun derecesi nispeten küçük iken aylık veya daha kısa dönemlik verilerde daha üst dereceden otokorelasyonla karşılaşılması mümkündür.

Otokorelasyona neden olan çeşitli sebepler var. Bunlardan önemli olanları aşağıdaki gibi sıralayabiliriz:

1. Verilerdeki Atalet
2. Model kurma hatası - dışlanan açıklayıcı değişkenler
3. Model kurma hatası - modelin matematiksel biçiminin yanlış tanımlanması
4. Verilerde ara gözlem tahmini (enterpolasyonu)
5. Verilerdeki ölçüm hataları

Otokorelasyonun neden olduğu sonuçlar;

• EKK kullanılarak türetilen katsayı tahminleri hâlâ sapmasızdır ancak minimum varyanslı değillerdir. Bunun sonucu etkin değildirler, yani büyük örneklemlerde bile doğrusal eniyi sapmasız tahminci (DEST) olmazlar. Tahmin edilen hata varyansının gerçek varyanstan büyük olması muhtemeldir.
• Bunun sonucu, olağan t ve F anlamlılık testleri geçerli olmazlar, uygulandığında tahmin edilen regresyon katsayıları hakkındaki hipotez testlerinin ciddi bir şekilde yanıltıcı sonuçlar vermesi olasıdır .
• Pozitif ilişkili hatalar için R²’nin “doğru” değerine göre şişmesi muhtemeldir.

DW testinin bir uygulama için geçerli olarak kullanılabilmesi için şu üç koşul yerine getirilmelidir:
1. Regresyonda sabit terim olmalı
2. Açıklayıcı değişkenler stokastik (olasılıklı) olmamalı ve
3. Modelin sağ tarafından bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri (Y_{t – 1}, Y_{t – 2}, vb. ) bulunmamalıdır.

Hata terimi normal dağılmamış ve örneklem hacmi yeterince büyük değilse hipotez testleri güvenli bir şekilde gerçekleştirilemez. Buna rağmen yapılan hipotez testleri yanıltıcı sonuçlar verebilir. Buna karşılık, hata terimi normal dağılmamış olmakla birlikte örneklem hacmi yeterince büyük ise, örneklem hacmi sonsuz gittikçe bütün dağılımların normale yaklaştığı bilgisinden yararlanarak hipotez testlerini gerçekleştirebiliriz.

Normal bir dağılım çarpık değildir ve basıklık katsayısı 3 olarak tanımlanmıştır.

Normallik için en sık uygulanan testlerden biri Jarque - Bera (bundan sonra JB olarak anılacaktır) testidir. JB testi, tüm dağılımın ilk iki momentle (ortalama ve varyans) karakterize edildiği normal dağılmış rastgele değişken özelliğini kullanır.

Verilerdeki Atalet: Makroekonomik veriler uzun dönemde devresel dalgalar sergiler. Bu devresel dalgalar değişkenler arasındaki pozitif otokorelasyonun önemli bir kaynağıdır. Öyle ki belli bir dönem uzunca dönem boyunca pozitif değişimler başka pozitif değişimleri ya da negatif değişimler başka negatif değişimleri izlerler. Bunun sonucu birbirini izleyen gözlem dönemleri arasında pozitif otokorelasyon oluşmasına neden olur.