Yapay Değişkenli Modeller

Uygun sayısal bir ölçekte ölçülemeyen nitel özellikleri veya ölçülebilse bile nitel olarak kabul edilmesi daha yararlı olan özellikleri temsil etmek üzere oluşturulan değişkenlere yapay değişken denir.

Yapay değişkenli modeller iki genel gruba ayrılırlar:
(i) yapay bağımlı değişkenli modeller ve (ii) Yapay bağımsız değişkenli modeller

Sabit terimde farklılaşmaya neden olan yapay değişkenlere sabit terim kuklası adı verilir.

Nitel bir özellik iki gruba sahipse bu niteliği nicel olarak ifade etmek için bir yapay değişken
oluşturmamız gerekir.

Yapay değişkenler 1 ve 0 değerlerinden oluşan değişkenler olup gerçekte başka değerler de alabilirler. Bu değerleri alması yorumlanmasını kolaylaştırdığı içindir.

Örneğin, örneklemimizdeki bireyler üç eğitim grubundan birine ait olabilir: lise altı, lise ve üniversite gibi. Bu şekilde çoklu grupla (veya mümkün durumla) nitel bir özelliği nicel olarak temsil etmek için, grup sayısı eksi 1 adet yapay değişken oluşturmanız gerekir.

Yapay değişkenli modellerde tahmin ve test süreci sayısal değişkenler için uygulanan süreçle aynıdır. Yani klasik doğrusal regresyon modelinin analizinde kullanılan tüm araçlar yapay bağımsız değişken içeren modeller için de geçerlidir.

Yapay değişkenlerin sabit terimi etkilemesi durumu modelleştirilmek istendiğinde diğer değişkenlerde olduğu gibi yapay değişkenin parametre ile çarpımı modele dahil edilir.

Bağımsız bir değişken olarak kullanmak istediğimiz nitel özellik sadece iki gruptan oluşuyorsa aşağıdaki tek yapay değişkenli bir model olarak ifade edilebilir:
Y_i = β₀ + β₁D_i + u_i 
burada, Y bağımlı değişken, β₀ kesim noktası (veya sabit terim) ve β₁ yapay değişken (D) tarafından temsil edilen özelliğin etkisinin etkisidir. D_i = 1 nitel özellik mevcutsa ve D_i = 0 nitel özellik mevcut değilse u_i KDRM’nin olağan varsayımlarına sahip hata terimidir.

Bir yapay değişkenin referans grubu değiştirildiğinde yapay değişkene ait katsayı değeri aynı fakat ters işaret alır.

İki grup için iki ayrı yapay değişkeni sabit terim ile birlikte aynı modelde kullanamayız. Örneğin biri (D₁) erkekse 1, kadınsa 0 ve diğeri (D₂) kadın ise 1, erkekse 0 gibi iki yapay değişkeni sabit terimle birlikte aynı modelde kullanamayız. Aksi hâlde, bu iki değişkenin toplamı tüm gözlemlerde 1 değerini alarak sabit terimin değişkeni olan 1 değerleriyle tam doğrusal ilişkili olur. Bu durum yapay değişken tuzağı olarak adlandırılır. Böyle bir durumda parametre tahminleri belirsiz varyans ve standart hataları ise sonsuz büyüklükte olur. Yani, parametreler ile varyans ve standart hataları tahmin edilemez. Yani modeli aşağıdaki gibi düzenlersek yapay değişken tuzağı nedeniyle tahmin edilemez:

Yapay değişkenin eğim parametresini etkilemesi durumunda, yapay değişken bu defa eğim parametresinde olası gruplar arasında farklılığa neden olur. Böyle bir durum yapay değişkenle nicel değişkenin etkileşimi olarak bilinir ve modele yapay değişkenle nicel değişkenin çarpımı olarak dahil edilir. Bu durumda model aşağıdaki gibi oluşturulur:
Y_i = β₀ + β₁D_i + β₂X_i + β₃(DX)_i + u_i

Bir yapay değişken, bir nicel değişken ve yapay ile nicel değişken etkileşimli bir terim içeren bir model tahmin edildiğinde parametrelerin anlamlılığına göre dört olası sonuçtan birini elde edilir. Bunlar:
i) Tek regresyon doğrusu: Hem yapay değişken hem de etkileşim terimlerine ait katsayıların sıfır yani istatistiki bakımdan anlamsız olması
ii) Farklı sabit aynı eğime sahip iki ayrı regresyon doğrusu: Yapay değişkene ait katsayının sıfırdan farklı yani anlamlı ve etkileşim terimine ait katsayının sıfır yani anlamsız olması
iii) Aynı sabit ancak farklı eğime sahip iki ayrı regresyon doğrusu: Yapay değişkene ait katsayının sıfır yani anlamsız ve etkileşim terimine ait katsayının sıfırdan farklı yani anlamlı olması
iv) Farklı sabit ve farklı eğime sahip iki ayrı regresyon doğrusu: Hem yapay değişkene ait katsayının hem de etkileşim terimine ait katsayının sıfırdan farklı yani anlamlı olması

Yapay D değişkenine ait katsayı %5’te istatistiki bakımdan anlamlı değildir. Bu değişkene ait katsayının anlamlı olmaması kadın ve erkek ofis çalışanlarının başlangıç maaşlarında anlamlı bir farklılık olmadığı anlamına gelir.

Etkileşim terimine ait katsayının anlamlı olması bir yıllık ilave tecrübe karşısında kadın çalışanlar ile erkek çalışanların maaş artışları farklılık göstermektedir.

İki veya daha fazla nitel özelliğin birlikte varlığının bağımlı değişken üzerinde ek bir etkiye sahip olabileceği düşünülüyorsa yapay değişimlerin etkileşimi modele dahil edilir.

İki yapay değişken ve iki nitel özellik arasındaki etkileşimi olan bir modelin tahmininden dört olası sonuçtan biriyle karşılaşırız:

(i) Bir regresyon doğrusu: Yapay değişken ve yapay etkileşimli değişkene ait katsayılar sıfırdır (veya istatistiki bakımdan anlamlı değildir).
(ii) İki regresyon doğrusu: Bir yapay değişken için katsayı anlamlı ancak diğer yapay değişken katsayısı ve etkileşim katsayısı sıfırdır (veya istatistiki bakımdan anlamlı değildir).
(iii) Üç regresyon doğrusu: Yapay değişken katsayıların her ikisi de anlamlı ancak etkileşim katsayısı sıfırdır (istatistiksel olarak anlamlı değildir).
(iv) Dört regresyon doğrusu: Yapay değişken katsayıları ve etkileşim katsayısı anlamlıdır.

Eğim parametresinde farklılaşmaya neden olan yapay değişkene ise eğim kuklası adı verilir.

Nitel bir özellik iki gruba sahipse bu niteliği nicel olarak ifade etmek için bir yapay değişken
oluşturmamız gerekir. Yapay değişken, iki özellikten biri mevcutsa “1”, diğeri mevcutsa “0” değerini alır. Oluşturulan yapay değişken için 0 değeri tanımlanan (veya atanan) gruba referans veya temel grup adı verilir.

Açıklayıcı değişkenlerin tümü;nicel ve nitel birlikte olduğunda, modele kovaryans analizi modeli denir.