Çoklu Doğrusal Regresyon Modeli

Bir bağımlı ve birden çok bağımsız değişkenin oluşturduğu modellere çoklu regresyon modeli denir.

Aralarında doğrusal ilişkiler bulunan bir bağımlı ve birden çok bağımsız değişkenin oluşturduğu regresyon modellerine çoklu doğrusal regresyon modeli denir.

Kısmi regresyon katsayıları temel olarak bağımsız değişkenler ile bağımlı değişken arasındaki ilişkileri ortaya koyan katsayılardır.

Eşitlikte yer alan S₀ otonom tasarruflardır. Otonom tasarruflar harcanabilir gelirin ve faiz oranlarının sıfır olduğu durumda toplam tasarrufların alacağı değerdir.

Çoklu doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarını şu şekilde sıralayabiliriz:

• Hata terimleri sıfır ortalamaya sahiptir.
• Hata terimleri sabit varyanslıdır.
• Hata terimleri otokorelasyon içermemektedir.
• Hata terimleri normal dağılıma sahiptir.
• Bağımsız değişkenler ile hata terimi arasında bir ilişki yoktur.
• Bağımsız değişkenlerin kendi aralarında kuvvetli ve tam bir ilişki yoktur.

Çoklu doğrusal bağlantı sorunu bağımsız değişkenler arasındaki kuvvetli ve tam bir ilişkinin varlığı durumudur.

Aralarında hiçbir ilişki bulunmayan değişkenlere ortogonal (dikey) değişkenler adı verilir. Bu durumda ise katsayıların tahminin de çoklu doğrusal bağlantıya dair bir sorun söz konusu değildir.

Diğer tüm sosyal bilimlerde olduğu gibi iktisadi olaylar da sayısız faktörün etkisinde kalmaktadır. Dolayısıyla iktisadi teori ve hipotezleri sınarken basit doğrusal regresyon modeliyle yapılan analizler çoğu kez gerçek durumu yansıtmada yetersiz kalmaktadır.

İki bağımsız değişkenli bir çoklu doğrusal regresyon modelini şu şekilde ifade edilir:

Yi = β₀ + β₁X_1i+ β₂X_2i + u_i

Çoklu doğrusal regresyon modelinde tahmin edilen bağımsız değişken parametrelerine kısmi regresyon katsayıları adı verilir. Katsayıların yorumu ise basit doğrusal regresyon modelinde olduğu gibidir. Ancak burada birden fazla bağımsız değişken söz konusu olduğu için kısmi regresyon katsayılarını yorumlarken diğer değişkenlerin sabit kaldığı varsayılır

Çoklu belirlilik katsayısı da burada bağımlı değişkendeki değişimin yüzde kaçının bağımsız değişkenler tarafından açıklandığını göstermektedir. Bu katsayı 0 ila 1 arasında bir değer alır ve 1’e yaklaştıkça modelin açıklama gücünün arttığını ifade eder. Yüksek R₂ değeri tahmin edilen regresyon fonksiyonunun gerçek durumun iyi bir temsilcisi olduğunu yani uyum iyiliğinin yüksek olduğunu ifade eder. R₂ değeri 0’a yaklaştıkça tahmin edilen fonksiyonun uyum iyiliğinin de azaldığı anlaşılır.

Tahmin edilen tasarruf fonksiyonunda R₂ değeri 0.95 olarak hesaplanmışsa bu, tasarruflarda meydana gelen değişimin %95’inin harcanabilir gelir ve faiz değişkenleri tarafından açıklandığını söylemektedir.

Modeldeki açıklayıcı değişken sayısı ise R₂ değeri arasında bir ilişki var mıdır? Bu sorunun cevabı kısaca evettir. Çoklu regresyon modellerinde modele bir bağımsız değişken eklendiğinde genellikle R₂ değerinin arttığı görülür. Çünkü, modele yeni bir değişken eklendikçe R₂ formülünün payında yer alan ve regresyona bağlı değişimi temsil eden değer büyür ancak paydadaki toplam değişim değeri değişmez.

Doğrusal regresyon modellerinde olduğu gibi çoklu regresyon modellerinde de katsayıların bireysel olarak anlamlılığı t testi ile belirlenir. Burada da t testi ile tahmin parametrelerinin istatistiksel olarak sıfıra eşit olup olmadığı test edilir. Buna göre t testi için sıfır hipotezi şu şekilde kurulur:
H₀: β = 0
Alternatif hipotez ise tek taraflı ve çift taraflı testlerde farklılık göstermektedir. Eğer test çift taraflı ise alternatif hipotez,
H₁: β ≠ 0

şeklinde, eğer test tek taraflıysa alternatif hipotez,
H₁: β > 0 (tahmin edilen β sıfırdan büyükse)
H₁: β < 0 (tahmin edilen β sıfırdan küçükse)  şeklinde oluşturulur.

Katsayı dışındaki diğer katsayıların eş anlı olarak anlamlılığı F testi yardımıyla belirlenir. F testinde sıfır hipotezi katsayıların toplu olarak sıfıra eşit olduğunu ifade eder.
H0: β1= β2 = … = βk = 0
Sıfır hipotezi bize 1’den k’ya kadar tüm bağımsız değişken parametrelerinin toplu olarak anlamsız olduğunu yani modelin bir bütün olarak anlamlı olmadığını söyler. Öte yandan F testinde alternatif hipotez şu şekilde ifade edilir:
H1: β1 ≠ β2 ≠ … ≠ βk ≠ 0

F testi yardımıyla modele yeni bir değişken eklemenin gerekli olup olmadığı belirlenebilir.

Ekonometrik modeller analiz edilirken uygulamada Eviews, Stata, Gauss, R gibi çok sayıda paket programdan faydalanılmaktadır.

Eğer t istatistiği mutlak olarak tablo kritik değerinden büyükse H₀ hipotezi reddedilir. |tist.| > |t _α,n–k| ise H₀ reddedilir.

Hesaplanan F istatistiği, tablo kritik değerinden büyükse sıfır hipotezi reddedilir ve bağımsız değişkenlerden en az birinin istatistiksel olarak sıfırdan farklı olduğu sonucuna ulaşılır.
Fist. > F α,k–1,n–k → H0 reddedilir.

Bağımlı değişkenleri farklı fonksiyonel biçimde olan regresyon modelleri arasında düzeltilmiş belirlilik katsayısı veya R² değerleri üzerinden bir karşılaştırma yapmak doğru değildir.