COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL MATEMATİK

Soruda verilen fonksiyona bölümün türevi kuralı uygulanırsa,

payda bulunan çarpım ifadesinin türevi alınıp 'ler sadeleştirilirse,

olur. Doğru cevap C seçeneğidir.

 fonksiyonunun

birinci türevi ,

ikinci türevi ,

üçüncü  türevi  

olup dikkat edilirse türevin mertebesi ile a'nın derecesi eşit olmaktadır. Yani benzer şekilde devam edildiğinde n. mertebeden türevi,  olduğu görülür. Doğru cevap B seçeneğidir.

x=e noktasından geçen teğet doğrusunun eğimini bulmak için türevinin o noktadaki değeri bulunur:

 olur. O halde (e,1) noktasından geçen ve eğimi 1/e olan doğrunun denklemi,

  bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

 belirsizliği vardır. L'hospital uygulandığında,

 olur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Artan azalan olduğu aralıkları belirleyebilmek için fonksiyonunun türevinin işaretini incelemeliyiz. Eğer  ise fonksiyon o aralıkta artan,   fonksiyon azalandır.

 ifadesi düzenlenirse,

 elde edilir. İşaret tablosu yapıldığında fonksiyonun  aralığında artan,  aralığında azalan olduğu görülür.

Türevi  olan fonksiyon,  fonksiyonudur. Fonksiyon x=0 noktasında 1 değerini aldığından,

 bulunur. O halde f fonksiyonu  şeklindedir. Doğru cevap A seçeneğidir.

f(x) ve g(x) eğrileri arasında kalan alan  ile hesaplanır. İntegralin sınırlarını belirleyebilmek için iki fonksiyonun ortak çözümü yapılır:

  

 olup denklemin kökleri, x=0 ve x=1'dir. Dolayısıyla sınırlar 0 ve 1 dir. 0<x<1 iken  olduğundan,

= olur. Doru cevap E seçeneğidir.

Paydanın türevi pay kısmında yer aldığından değişken değiştirme yöntemi bu integral için uygun olacaktır.

 denilirse  olur, bulunan bu değerler integralde yerine konulursa,

 bulunur. u değerini de yerine koyarsak sonuç,

 olur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Verilen integralde iki fonksiyonunun çarpımını integrali söz konusu olduğundan kısmi integrasyon yöntemini uygulamak işlemi kolaylaştıracaktır.

 ve  değerlerini kısmi integrasyon yönteminde kullandığımız formülde yerine yazalım:

 olur. Doğru cevap E seçeneğidir.

 integralini  şeklinde yazabiliriz. O halde,

 olur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Türev alma kurallarını kullanarak f(x) fonksiyonunun önce birinci türevini alalım. f'(x)=8x³+6x-5 olur. Bunun üzerinden tekrar türev alırsak f(x)’in ikinci mertebeden türevini bulmuş oluruz. O da f''(x)=24x²+6 bulunur.

Çarpım kuralını uygularsak,
y'=(2x+3)(5x-8)+5(x²+3) olur. x=1 için ise y'|_(x=1)=5.(-3)+5.4=5 olur.

Çözüm: Birinci türevini 0 yapan x değerleri bize fonksiyonun kritik noktalarını verir.  f'(x)=12x²-12=0 ise x=-1 ve x=1 bulunur.

Fonksiyonun artan azalan olduğu aralıkları inceleyebilmek için birinci türevin işaretine bakmalıyız. f'(x)=2x olduğuna göre (0,∞) aralığında f'(x)>0 olur. Yani fonksiyon bu aralıkta artan bir fonksiyondur. Ancak (-∞,0) aralığında azalan bir fonksiyondur.

 belirsizliği vardır. L’Hospital kuralını uygulayabiliriz.  bulunur.

Bahcenin kısa kenarına x uzun kenarına y dersek 2x+2y=120 cm olduğundan x+y=60 olur. Bahçenin alanı A=x.y ifadesinin maksimum olmasını istiyoruz. x+y=60 ise y=60-x bulunur. Bu ifadeyi yerine yazarsak A=x.(60-x) ifadesini maksimum yapacak x değerini bulalım. Bunun için birinci türevi sıfıra eşitleyelim. A'(x)=60-2x=0 ise x=30 bulunur. O halde A=30.30=900 bulunur.

Soruda verilen integrali değişken değiştirme ile çözelim. x²+4x=u ise 2(x+2)dx=du olur.

Kısmi integrasyon yöntemiyle integralin sonucunu bulmaya çalışalım. sin⁡xdx=dv ve x=u ise -cos⁡x=v ve dx=du bulunur. 
u.v-∫ v du=-x.cos⁡x +∫ cos⁡ x dx =-x.cos⁡x+sin⁡x+c bulunur.

Önce bu iki denklemin kesiştiği noktaları bulalım. x²-4x=0, x(x-4)=0 olur. Buradan x=0 ve x=4 bulunur. Aradığımız alan;
 bulunur. Ancak alan negatif olmayacağından eksi işareti bize alanın x ekseninin altında kaldığını gösterir.

Belirli integralin sınırlarını bulalım. Eğri ile doğruyu ortak çözersek x²=x den x(x-1)=0 olur. Buradan kesişim noktaları x=0 ve x=1 bulunur. Alan ise
 bulunur.