Koordinat Sistemleri ve Dönüşümler

Bir koordinat sistemi bir nesnenin veya konumun uzayda bulunduğu yeri bulmada kullanılır. Kullanım amacına göre çeşitli koordinat sistemleri bulunmaktadır. Fakat temelde tüm koordinat sistemleri yer tespitinde kullanılır.

Koordinat sistemleri boyutlarına göre iki boyutlu (2D) ve üç boyutlu (3D) olmak üzere iki gruba ayrılabilir. 

Küresel koordinat sistemleri dünya üzerindeki bir konumu belirleme, küresel bir elektrik yükünün oluşturduğu elektromanyetik alanın hesabı gibi birçok alanda kartezyen koordinat sistemlerine göre hesaplama kolaylığı sağlamaktadır. Bunun asıl sebebi hesaplama yapılan yüzeyin ya da uzayın küresel bir yapıya sahip olmasıdır.

İki boyutlu uzayda bir nokta, birbirine dik olan iki doğrudan uzaklıkları ile belirlenebilir. Bu doğrulara koordinat eksenleri denir.

İki boyutlu uzaydaki koordinat eksenlerinden yatay olanı x ekseni, düşey olanı ise y eksenidir.

x ve y eksenlerinin kesişiminde bulunan nokta orijin olarak adlandırılır ve O ile gösterilir.

İki boyutlu uzayda bir noktayı göstermenin bir yolu da kutupsal koordinat sistemini kullanmaktır. Kutupsal koordinat sisteminde bir noktayı göstermek için iki değer kullanılır.

Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu uzayda tanımlı bir koordinat sistemidir. Üç boyutlu uzaydaki bir nokta kartezyen koordinat sisteminde (x, y, z) sıralı üçlüsü ile gösterilir. Küresel koordinat sisteminde de benzer olarak sıralı üç değer kullanılarak bir nokta gösterilebilir.

Küresel koordinat sisteminde sıralı üç değer kullanılarak bir nokta gösterilebilir. Fakat kartezyen koordinat sisteminde uzunluk olan bu değerlerin yerine, küresel koordinat sisteminde bir uzunluk (r) ve iki açı değeri (θ, z) kullanılır.

Dönüşümler genellikle T harfi ile gösterilirler.

Kartezyen koordinat sistemlerinde çeşitli dönüşümler tanımlanabilir. Bunlar; öteleme, döndürme ve ölçekleme olarak adlandırılırlar.

Öteleme işlemi kartezyen koordinat sistemlerinde tanımlanabilecek en kolay dönüşümdür. İsminden de anlaşılabileceği gibi bir geometrik nesnenin bir konumdan başka bir konuma taşınması öteleme olarak adlandırılabilir.

Döndürme isminden de anlaşılacağı gibi bir nesneyi çevirmek manasına gelmektedir. Döndürme yapmak için temelde üç bilgiye ihtiyaç vardır. Bunlar; döndürme açısı, döndürme merkezi ve döndürme yönüdür.

Bu dönüşüm türünde koordinat değişkenleri belirli skalerler ile çarpılarak geometrik nesneler büyütülür veya küçültülür.

Değişkenler 1’den küçük bir skaler ile çarpılırsa ise şekil küçülür, 1’den büyük bir skaler ile çarpılırsa büyür. Skalerin değeri bir ise nesnede bir değişiklik meydana gelmez.

Kartezyen koordinat sistemleri hem iki boyutlu hem de üç boyutlu uzaylarda kullanılan koordinat sistemlerine örnek olarak verilebilir. Üç boyutlu uzayda ayrıca küresel ve silindirik en çok bilinen koordinat sistemleridir.

Kutupsal koordinat sisteminde bir noktayı göstermek için iki değer kullanılır. Bunlardan ilki noktanın orijine uzaklığıdır ve genellikle r ile gösterilir. İkincisi ise orijin ile noktayı birleştiren doğru ile x-ekseninin yaptığı açıdır. Bu açı genelde θ ile gösterilir. Sonuç olarak bir A(a, b) noktası kutupsal koordinatlarda [r, θ] sıralı ikilisi ile gösterilir.

Koordinat dönüşümü yapılmasındaki temel amaç, karmaşık olan problem denklemlerine daha sade, basit bir görünüm vererek yapılan işlemleri kolaylaştırmak ve anlaşılabilir hale sokmaktır.

Örneğin; xyz kartezyen koordinat sisteminde x2+y2+z2=25 ile merkezi orijinde ve yarıçapı 5 birim olan bir küre gösterilmektedir. Bu denklemin küresel koordinat sistemindeki karşılığı r=5’tir. Her iki denklemde aynı küreyi göstermektedir. Fakat görüldüğü gibi küresel koordinat sistemindeki gösterim çok daha basit ve sadedir.

Koordinat dönüşümlerinde geometrik cisim sabit kalır fakat eksen sistemi değişikliğe uğrar. Geometrik dönüşümlerde ise eksen sistemi sabit kalır ve cisim değişikliğe uğrar.