Türev ve İntegral Uygulamaları

Türev, fiziksel olarak bir büyüklüğün anlık değişimini karakterize eder.

y'=7

L’Hospital kuralı

 durumları için uygulanmaktadır. 

(i) f'(x)< 0 ise fonksiyon azalandır, yani x değerleri arttıkca karşı gelen f değerleri azalıyor, x değerleri arttıkça karşı gelen f değerleri de artıyorsa f fonksiyonuna artan fonksiyon denir.

Kritik nokta denmektedir. 

Bir Ekstremum noktasından fonksiyon eğrisine çizilen teğet doğru her zaman X eksenine paraleldir (eğim sıfır olduğundan).

Fermat Teoremi: [a,b] aralığında tanımlı f(x) fonksiyonunun x₀ ∈(a,b) noktasında türevi varsa ve f'(x₀)=0 ise, bu noktada fonksiyon minimum veya maksimum değerini alıyor. 

f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ve (a,b) aralığında türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer fonksiyonun aralığın uç noktalarındaki değerleri bir birine eşit ise, f(a)=f(b), o zaman (a,b) aralığında f'(c)= 0 olacak şekilde bir c ∈(a,b) noktası vardır.

Eğer bir aralıkta tanımlı bir fonksiyon grafiğinin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası, bu noktalar arasındaki grafik parçasının üzerinde kalıyorsa fonksiyona dışbükey denir. 

Eğer bir aralıkta tanımlı bir fonksiyon grafiğinin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası, bu noktalar arasındaki grafik parçasının altında kalıyorsa fonksiyona içbükey denir.

Bir fonksiyonu bilinen değerlerinden birinden ve türevi f(x) den bulma işlemi, türevi f olabilecek bütün fonksiyonları veren bir formülün bulunmasıdır. Bu fonksiyonlar, f in ters türevleri denen fonksiyonlardır ve bunların hepsini veren formüle belirsiz integral denir.

1. Belirsiz integralin diferansiyeli integralaltı ifadeye, türevi ise integralaltı fonksiyona eşittir.
2. Sürekli diferansiyellenen fonksiyonun diferansiyelinin integrali, bu fonksiyonun kendisi artı bir sabite eşittir.
3. ∫ ve d işaretleri matematiksel olarak bir birinin tersidir, yan yana geldiklerinde bir birini yok ederler. 
4. A≠ 0 bir sabit iken, integral işaretinin içine alınabilir ve/veya dışına çıkarılabilir.
5. Sürekli fonksiyonların toplamının integrali, onların integraller toplamına eşittir.

İntegralleme yöntemleri arasında; değişken değiştirme yöntemi, trigonometrik değişken değiştirilmesi yöntemi, kısmi integralleme yöntemi ve basit kesirlere ayırma yöntemi yer almaktadır.

1.Temel Teorem: Eğer f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı, pozitif, sürekli ise bu fonksiyon eğrisi ile X ekseni arasında kalan alan ile hesaplanır. 

1. Üst sınırı değişken olan belirli integralin, bu sınıra göre türevi integralaltı fonksiyona eşittir.
2. Alt sınırı değişken olan belirli integralin, bu sınıra göre türevi ters işaretle integralaltı fonksiyona eşittir.

Belirli integrallerde integral alma yöntemleri; değişken değiştirme yöntemi ve kısmi integralleme yöntemi olarak ifade edilir.