Vektörler, Matrisler ve Determinantlar

Sıcaklık ağırlık gibi bazı fiziksel nicelikler sadece bir miktara (büyüklüğe) sahiptirler. Sadece sayı ve belirli bir birim ile tanımlanabilen niceliklere skaler denir.

Skaler niceliklerin dışında büyüklük ve yön ile gösterilen nicelikler vardır. Örneğin hareket hâlindeki bir otomobilin hızı sadece büyüklük değil ayrıca yön bilgisi de içerir. Bunun gibi büyüklük (miktar, uzunluk,…) ve yön ile belirlenen niceliklere vektör denir.

Doğrusal bileşim, vektörlerin her birinin belirli sabitler ile çarpılarak toplanmasıdır.

a = x₁i + y₁j + z₁k vektörü satır vektörü olarak (x₁  y₁  z₁₎ şeklinde gösterilir.

Bir vektörün uzunluğu (normu, büyüklüğü) vektörün başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki uzaklık olarak tanımlanabilir.

a ve b iki vektör olsun. Bu iki vektörün toplamı a+b ile gösterilir. a vektörünün bitiş noktasına b vektörünün başlangıç noktası yerleştirilir. a vektörünün başlangıç noktasından başlayıp b vektörünün bitiş noktasında sonlanan vektör a+b vektörüdür.

a bir vektör ve t bir skaler (gerçel sayı) olsun. ta vektörünün uzunluğu a ’nın uzunluğunun t katıdır. t>0 ise a vektörü ile aynı yönde, t<0 ise a vektörü ile zıt yöndedir. t = 0 ise ta sıfır vektörüne eşittir.

a = xi + yj + zk herhangi bir vektör olsun. a yönündeki birim vektör, a vektörü uzunluğuna bölünerek bulunur.

İç çarpıma aynı zamanda nokta çarpımı veya skaler çarpım da denir. İsminden de anlaşılacağı gibi çarpma işleminin sonucu skalerdir. İç çarpmanın; doğru denklemi, düzlem denkleminin hesaplanması, bir vektörün herhangi bir düzlem üzerindeki iz düşümünün hesaplanması gibi bir çok uygulaması bulunmaktadır. İki vektörün iç çarpımının hesaplanabilmesi için vektörlerin boyutlarının aynı olması gerekir. Örneğin, iki boyutlu bir vektör ile üç boyutlu bir vektörü çarpamazsınız.

İki vektörün iç çarpımında aynı bileşenler çarpılıp sonuçları toplanır.

Vektörlerde tanımlı çarpma işlemlerinden birisi de dış çarpımdır. İç çarpımdan farklı olarak sonuç yine vektördür. Dış çarpımın mekanik, elektromanyetik teori ve hareket gibi birçok uygulama alanı mevcuttur.

İki vektörün dış çarpım sonucunun büyüklüğü ile iki vektörün uzunlukları arasında aşağıdaki eşitlik vardır.

Bir vektörün yönlü kosinüsleri, vektörün koordinat eksenleri ile yaptığı açıların kosinüsleri olarak tanımlanırlar.

Matrisler; doğrusal denklem sistemlerinin çözümü, oyun teorisi, bilgisayar grafiği, bilgisayarlı tomografi, biyometrik tanıma sistemleri, şifreleme, elektrik devreleri, genetik gibi birçok alanda karşılaşılan gerçek dünya probleminin çözümünde kullanılan çok önemli ve kuvvetli matematiksel araçlardır.

Matrislerin boyutları satır ve sütun sayıları ile belirlenir. Matrisin boyutu yazılırken satır sayısının önce yazılması gereklidir. Burada bir genellemeye gidersek; m-satırlı ve n-sütunlu bir matrisin boyutu mxn’dir.

Matristeki her bir sayıya matrisin elemanı denir. Matristeki her elemanı bulunduğu satır ve sütuna göre isimlendirebiliriz.

Eğer m=n ise matrise m. mertebeden kare matris denir.

A matrisinin tüm elemanları 0 ise matrise sıfır matris denir.

Eğer A’nın tüm köşegen elemanları 1 ve diğer tüm elemanları 0 ise A’ya n mertebeden birim matris denir ve I_n ile gösterilir.

A matrisinin satırlarını sütun, sütunlarını da satır yaparak elde edilen matrise A’nın devriği (transpozu) denir ve A^T ile gösterilir.

Eğer A = A^T, yani A matrisi devriğine eşit oluyorsa A’ya simetrik matris denir.

Determinant, kare matristen elde edilen bir sayıdır. Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde, bir matrisin tersinin hesaplanmasında, iki vektörün dış çarpımının bulunmasında determinant hesaplamalarından faydalanılır. Bir matrisin determinantı negatif bir sayı olabilir.