Fonksiyonlar
Fonksiyon ne anlama gelir? Kısaca açıklayınız.
A kümesindeki her x elemanını B kümesinde tek bir y elemanı ile eşleştiren kurala A’dan B’ye bir fonksiyon denir. Bu fonksiyon
f
f : A → B veya A ⎯→ B
ile gösterilir.
Fonksiyonlar gerçek dünyadaki problemleri matematiksel modeller ile ifade edilirken kullanılan önemli matematiksel araçlardır. Fonksiyonu, iki nicelik arasında bir ilişki kuran bir özellik olarak düşünebiliriz. Bu özellik fonksiyonun formülünü vermektedir.
Tanım kümesi ne anlama gelir?
Fonksiyon makinesinin içine koyabileceğimiz tüm x değerlerinin kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir ve Df ile gösterilir.
Görüntü kümesi ne anlama gelir?
Fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanı fonksiyon makinesine girdi olarak verdiğimizde elde ettiğimiz değerlerin oluşturduğu kümeye ise fonksiyonun görüntü kümesi denir ve Rf ile gösterilir.
Bire-bir Fonksiyon nedir? Kısaca açıklayınız.
Bire-bir Fonksiyon: Bir A kümesindeki elemanları B kümesindeki farklı elemanlar ile eşleştiren fonksiyona bire-bir fonksiyon denir.
Matematiksel olarak ifade etmek istersek; x1, x2 ∈ A olmak üzere x1≠ x2 iken f (x1) ≠ f (x2) oluyor ise f ’nin bire-bir fonksiyon olduğunu söyleriz.
Örten fonksiyon nedir? Kısaca açıkalayınız.
Örten Fonksiyon: B kümesindeki her bir elemana karşılık A kümesinde en az bir elemanı eşleştiren fonksiyona örten fonksiyon denir. Yani her y ∈ B için y = f (x) olacak şekilde en az bir x ∈ A varsa, f fonksiyonu örtendir.
Tek ve Çift Fonksiyonlar ne anlam ifade ederler?
Tek ve Çift Fonksiyonlar: f : A → B bir fonksiyon olsun. Her x ∈ A için f(-x) = -f(x) ise f ’ye tek fonksiyon,
her x ∈ A için f(-x) = f(x) ise f ’ye çift fonksiyon denir.
Periyodik Fonksiyon nedir? Kısaca açıklayınız.
Periyodik Fonksiyon: f : A → B bir fonksiyon olsun. Her x ∈ A için f(x+T) = f(x) olacak şekilde bir T ∈ R+ varsa f(x) fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir. Bu özelliği sağlayan en küçük T sayısına f ’nin periyodu denir. Yani bir fonksiyon belirli aralıklar ile sürekli kendini tekrar ediyorsa fonksiyona periyodiktir denir. Tekrar ettiği en küçük aralık ise fonksiyonun periyodu olur.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar nedir? Kısaca açıklayınız.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar: f : A → B bir fonksiyon olsun. x1, x2 ∈ A için x1 < x2 iken f(x1)< f(x2) oluyorsa f artan fonksiyon,
x1 < x2 iken f(x1) > f(x1) ise azalan fonksiyon olur. Yani tanım kümesinden seçilen değerler artarken bunlara görüntü kümesinde karşılık gelen değerlerde artıyorsa fonksiyon artan, azalıyorsa azalandır.
Birim Fonksiyon nedir? Kısaca açıklayınız.
Birim Fonksiyon: f, A kümesinden A kümesine tanımlı bir fonksiyon yani f : A → A olsun. Eğer f fonksiyonu A’nın her elemanını kendisi ile eşleştiriyorsa f ’ye birim fonksiyondenir. Tanım gereği, her x ∈ A için f (x) = x olduğu açıktır. Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
Ters Fonksiyonu tanımlayınız.
Ters Fonksiyon: f : A → B bire-bir ve örten bir fonksiyon olsun. f -1: B → A ve her y ∈ B için f -1 (y) şeklinde tanımlı fonksiyonu f ’nin ters fonksiyonu denir.
f (x) = 5x + 2, ters fonksiyonunu bulunuz.
f (x) fonksiyonu bire-birdir. y = f -1(x) olsun. Buradan x = f (y) = 4y + 1 elde edilir.
Denklemden y çekilirse y = x −2 / 5 olur. Yani y = f −1(x) = x −2 / 5 olarak bulunur.
Fonksiyonun grafiğini küme notasyonu ile nasıl gösterilir? Kısaca açıklayınız.
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki x değerlerine göre değişimini gözlemlemenin en kolay yollarından biri de fonksiyonun grafiğini incelemektir. Bir f fonksiyonunun grafiği y =f (x) eşitliğinin grafiğinden ibarettir. Fonksiyonun grafiği Kartezyen koordinat düzleminde (x, y) = (x, f (x)) noktalarından oluşmaktadır. Aslında fonksiyonun grafiği; birinci bileşeni girdi, ikinci bileşeni ise bu girdiye karşılık fonksiyonun verdiği çıktı olan noktaların kümesidir. Fonksiyonun grafiğini küme notasyonu ile
{(x, f (x)), x ∈ D} şeklinde gösterebiliriz.
f (x)=x2+5, g (x) = x + 3 ise f + g fonksiyonunu nedir?
f ( f + g) = x2+5 +x + 3
f ( f + g) = x2+ x + 8
f (x) = x , g(x) = 4x + 2 ise f x g fonksiyonu nedir?
f (x) = x , g(x) = 4x + 2
f x g = x(4x+2)
f x g = 4x2 + 2x olur.
Bileşke fonksiyon hakkında kısaca bilgi veriniz.
Bileşke fonksiyonda, bir fonksiyonun çıktısı başka bir fonksiyonun girdisi olarak kullanılmaktadır. Yani birinci fonksiyonun görüntü (değer) kümesi, ikinci fonksiyonun tanım kümesini kapsamaktadır.
f ve g iki fonksiyon olsun. fog bileşke fonksiyonu
(fog)(x) = f (g (x))
şeklinde tanımlanır.
f (x) = x + 2, g(x) = x - 1 olduğuna göre (fog)(x) fonksiyonu nedir?
(fog)(x)= f(g(x))
f(g(x)) = x - 1 + 2
f(g(x)) = x + 1 olur.
f (x) = x2 −1 ve g(x) = x + 4 olduğuna göre (gof)(1) fonksiyonunun değeri kaçtır?
(gof)(1) = x2 −1 + 4
(gof)(1) = x2 + 3
(gof)(1) = 12 + 3
(gof)(1) = 4
Parçalı tanımlı fonksiyon hakkında kısaca bilgi veriniz.
Bazı fonksiyonlar tanım kümelerinin farklı bölgelerinde farklı formüller ile tanımlanırlar. Bu tip fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir. Bunlardan en çok bilineni mutlak değer fonksiyonudur.
Trigonometrik fonksiyonlar hakkında kısaca bilgi veriniz.
Trigonometrik fonksiyonlar girdisi açı olan fonksiyonlardır. Trigonometrik fonksiyonlar dik üçgenin kenarları, birim çemberden elde edilen çeşitli doğru parçaları, kuvvet serileri kullanılarak tanımlanmıştır. Diferansiyel denklemlerin çözümleri, periyodik fonksiyonların gösterimi, periyodik fonksiyonların kullanıldığı herhangi bir alanda, koordinat dönüşümlerinde, vs. kullanılmaktadır.
Bir firmanın ürettiği ürünün ürün başına elde ettiği kar a TL, günlük satış adedi ise ve x'tir. Firmanın bu üründen bir ayda elde edeceği toplam kârı x’in bir fonksiyonu olarak gösteriniz.
Çözüm:
Şirketin ürün başına elde ettiği günlük kar a.x TL' dir. Bir ayda elde edeceği kâr ise
f (x) = 30.a.x
olur.