COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL MATEMATİK - Deneme Sınavı - 7

Verilen ölçekleme dönüşümü herhangi bir noktanın x-bileşenini 2 ile, y-bileşenini  ile ve z-bileşenini  ile çarpmaktadır. Dolayısıyla bu işlem sonunda (3,-2,-1) noktasının elde edilebilmesi için bu işlemlerin  noktasına uygulanması gerekir.

Kartezyen koordinatlarda verilen (x,y) noktasının kutupsal koordinatlardaki karşılığı  olmak üzere  ikilisidir. Böylece  ve  olur. Böylece verilen noktanın kutupsal koordinatlardaki karşılığı olarak bulunur.

Bir öteleme dönüşümü T(x,y) = (x+a,y+b) biçimindedir. T(-3,4) = (1,2) olduğuna göre -3+a=1 ve 4+b=2 olmalıdır. Buradan a=4 ve b=-2 bulunur. Yani öteleme dönüşümü x - ekseni yönüne 4 birim, y - ekseni yönünde -2 birim öteleme yapar.

Kartezyen koordinatlarda verilen (x,y) noktasının kutupsal koordinatlardaki karşılığı  ve  olmak üzere  ikilisidir. Böylece  ve  olur. Böylece verilen noktanın kutupsal koordinatlardaki karşılığı  olarak bulunur.

Düzlemde orijin etrafında saatin tersi yönündeki  derecelik bir dönme matrisi  olarak verilir. Dolayısıyla saat yönünde 60⁰ lik dönme için  alarak bu matrisi oluşturmalıyız. Böylece  olarak bulunur.

Düzlemde orijin etrafında saatin tersi yönündeki  derecelik bir dönme matrisi  dir. Dolayısıyla saatin tersi yönünde  radyanlık dönme için   alarak bu matrisi oluşturmalıyız. Böylece bu dönme matrisi  olarak bulunur. Bu dönüşüm altında (1,3) noktasının görüntüsü olarak bulunur.

Kutupsal koordinatlarda verilen bir  ikilisinin kartezyen koordinatlardaki karşılığı  ve  olmak üzere (x,y) ikilisidir. Dolayısıyla   olur ve verilen noktanın Kartezyen koordinatlardaki karşılığı  olarak bulunur.

Düzlemde orijin etrafında saatin tersi yönündeki  derecelik bir dönme matrisi

Dolayısıyla   olur, bu şartları sağlayan  açısı  radyan veya -60⁰ dir. Saatin tersi yönü pozitif yön olduğundan, bu dönme dönüşümü saat yönünde 60⁰ derecelik dönmedir.

Kutupsal koordinatlarda verilen  ikilisinin Kartezyen koordinatlardaki karşılığı   olur ve verilen noktanın Kartezyen koordinatlardaki karşılığı  olarak bulunur. Bu nokta x - ekseni boyunca 2 birim sağa, y - ekseni boyunca 3 birim aşağı ötelenirse  elde edilir.

Bir dağılımda ya da popülasyonda en çok tekrar edilen terime mod (tepe değer) denir. 3 en çok tekrar edilen sayı olduğundan bu dağılımın modudur.

Her n = 1,2,3,... için a_n  M olacak şekilde bir M sayısı varsa  dizisine sınırlı dizi denir.  dizisi için M=1 alınırsa a_n  M elde edilir. Böylece  dizisi sınırlıdır.

Her n=1,2,3,... için a_n+1  a_n oluyorsa {a_n } dizisine azalan dizi denir. Her n=1,2,3,... için  dizisi  a_n+1  a_n koşulunu sağladığından azalan bir dizidir.

Çözüm: Pozitif terimli seriler için p-yakınsaklı testinde  için p>1 ise seri yakınsaktır. O halde  serisi için p=3>1 olduğundan bu seri yakınsaktır.

 Serisinin tüm terimleri pozitiftir. Dolayısıyla  olduğundan yakınsaklık testi gereği seri +∞’a ıraksaktır.

  serisi yakınsak olduğundan   serisi de mutlak yakınsaktır.

Çözüm: Pozitif terimli seriler için p-yakınsaklık testinde  için p≤1 ise seri +∞’a ıraksaktır. O halde  serisi için p=-5≤1 olduğundan bu seri +∞’a ıraksaktır.

Artan ve alttan sınırlı dizi yakınsak olmak zorunda değildir. Örneğin {a_n}={n} dizisi artan ve alttan sınırlıdır fakat yakınsak değildir.

Her n doğal sayısı için  eşitsizliği sağlandığı ve  olduğundan  elde edilir.