COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL MATEMATİK - Deneme Sınavı - 5

 serisi ıraksaktır. Teorem 11’deki koşullar sağlandığı için  serisi yakınsaktır. Bu yüzden seri şartlı yakınsaktır denir.

olup iki matrisin eşitliğinden, x=0 elde edilir.

 olur. Buradan
’dir. olmak üzere  şeklinde hesaplanır. Bu durumda  vektörünün uzunluğu

 biçiminde elde edilir.

 serisi mutlak yakınsaktır.  bulunur. Dolayısıyla  serisi yakınsaktır.  ise mutlak yakınsaktır.

 eşitliğinde  vektörü yerine konulursa
                               
olur. Buradan
                  elde edilir.
 olmak üzere a ve b vektörleri arasındaki iç çarpım
                   
ile hesaplanır.

 olur.

Türev alma kurallarını kullanarak f(x) fonksiyonunun önce birinci türevini alalım. f'(x)=8x³+6x-5 olur. Bunun üzerinden tekrar türev alırsak f(x)’in ikinci mertebeden türevini bulmuş oluruz. O da f''(x)=24x²+6 bulunur.

Çarpım kuralını uygularsak,
y'=(2x+3)(5x-8)+5(x²+3) olur. x=1 için ise y'|_(x=1)=5.(-3)+5.4=5 olur.

Çözüm: Birinci türevini 0 yapan x değerleri bize fonksiyonun kritik noktalarını verir.  f'(x)=12x²-12=0 ise x=-1 ve x=1 bulunur.

Fonksiyonun artan azalan olduğu aralıkları inceleyebilmek için birinci türevin işaretine bakmalıyız. f'(x)=2x olduğuna göre (0,∞) aralığında f'(x)>0 olur. Yani fonksiyon bu aralıkta artan bir fonksiyondur. Ancak (-∞,0) aralığında azalan bir fonksiyondur.

 belirsizliği vardır. L’Hospital kuralını uygulayabiliriz.  bulunur.

Bahcenin kısa kenarına x uzun kenarına y dersek 2x+2y=120 cm olduğundan x+y=60 olur. Bahçenin alanı A=x.y ifadesinin maksimum olmasını istiyoruz. x+y=60 ise y=60-x bulunur. Bu ifadeyi yerine yazarsak A=x.(60-x) ifadesini maksimum yapacak x değerini bulalım. Bunun için birinci türevi sıfıra eşitleyelim. A'(x)=60-2x=0 ise x=30 bulunur. O halde A=30.30=900 bulunur.

Soruda verilen integrali değişken değiştirme ile çözelim. x²+4x=u ise 2(x+2)dx=du olur.

Kısmi integrasyon yöntemiyle integralin sonucunu bulmaya çalışalım. sin⁡xdx=dv ve x=u ise -cos⁡x=v ve dx=du bulunur. 
u.v-∫ v du=-x.cos⁡x +∫ cos⁡ x dx =-x.cos⁡x+sin⁡x+c bulunur.

Önce bu iki denklemin kesiştiği noktaları bulalım. x²-4x=0, x(x-4)=0 olur. Buradan x=0 ve x=4 bulunur. Aradığımız alan;
 bulunur. Ancak alan negatif olmayacağından eksi işareti bize alanın x ekseninin altında kaldığını gösterir.

Belirli integralin sınırlarını bulalım. Eğri ile doğruyu ortak çözersek x²=x den x(x-1)=0 olur. Buradan kesişim noktaları x=0 ve x=1 bulunur. Alan ise
 bulunur.

 fonksiyonunun türevi olup,
türevin x=0 daki değeri  olur.

x²-xy+2y²+x-1=0 fonksiyonunun türevi şu şekilde bulunur:

f(x)=sin⁡x fonksiyonunun sırasıyla ilk dört türevi şu şekildedir:
f'(x)=cos⁡x
f''(x)=-sin ⁡x
f'''(x) =-cos⁡x
f'v (x)=sin⁡x
Görülüyor ki sin⁡x fonksiyonunun dördüncü türevi fonksiyonun kendisine eşittir, o halde 4 ve katları mertebeden türevlerde fonksiyonun kendisi yani sin⁡x elde edileceği için  f⁽⁴⁰⁾ (x)=sin⁡x olur.

y'=4x³-36x=4x(x²-9)
Kritik noktalar x=0, x=3 ve x=-3 dür. İkinci türev testi uygulanırsa
y''=12x²-36=12(x²-3)
y'' (0)=-36<0 ve y'' (3)=y'' (-3)=72>0 olduğundan x=0 yerel maksimum nokta olup burada ki yerel maksimum değeri y=-5 olur.

3x-4y+6=0 ve x+2y-8=0 doğrularının kesişim noktasını bulurken öncelikle x ya da y değişkenlerinden birini yok etmek gerekir. Bunun için x+2y-8=0 denkleminin iki katı 3x-4y+6=0 denklemine eklenir. Buradan 3x-4y+6+2(x+2y-8)=0 yani 3x-4y+6+2x+4y-16=0 olur. Gerekli işlemler yapıldığında ise     5x-10=0 elde edilir. 5x=10 olup x=2 olarak bulunur. x=2 olarak bulunduktan sonra bu değer herhangi bir denklemde yerine yazılarak y bulunur. 3.2-4y+6=0 ise 12=4y olup 3=y olarak elde edilir. Verilen doğruların kesim noktası (x, y) = (2, 3) olup Doğru Cevap A seçeneğidir.