COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL MATEMATİK - Deneme Sınavı - 2

f(x) fonksiyonu bire-bir dir.
y=f-1(x)
Buradan x=f(y)= (3y-7)/(2y+1) elde edilir.Denklemden y çekilirse
y= (y+7)/(-2x+3) olur.Yani f-1(x)= (x+7)/(-2x+3) , f-1(5) ise (5+7)/(-10+3)= 12/(-7) olarak bulunur.

y1 = 12x2 – 10x

y1= (4x) (x3+1) + ( x2) (2x2 – 10)

= 4x4+4x + 2x4- 10x2
= 6 x4 – 10 x2 + 4 x
X= - 1 noktası dediği için türevi alınan fonksiyonda x yerine ( -1 ) yazıyoruz.

= 6(-1)4 – 10(-1)2 + 4(-1)

= 6 -10 -4
= - 8

99. Sayfada ki verilen kurallar içerisinde 9. Kuralda verildiği gibi,

(au)1= au.lna.u1 olarak uygulanır.

Yani;

52x.ln5.2

y=f(x) fonksiyonunun (n-1). mertebeden türevinin varlığı biliniyorsa n. İnci mertebeden türevi

f(n)(x) = ( f(n-1)(x) )1 ile verilir.

Örneğin, f11(x) = ( f1(x) )1

f111(x) = ( f11(x) )1 şeklinde devam eder.

y = Sin(2x+1) için

y1 = 2.Cos(2x+1)

y11 = -4.Sin(2x+1) olarak bulunur.

Kritik nokta f1(x) = 0 olarak bulunur.

6x-18=0
X=3 olur.

f(x) fonksiyonu [a.b] aralığında tanımlı ve iki kez türevlenebilir fonksiyon olsun.
Fonksiyonun x0 ϵ (a,b) noktasında kritik değere sahip olduğunu varsayalım.Bu durumda,

a ) Eğer her x ϵ (a,b) için f11(x0) < 0 ise fonksiyon (a,b) aralığında içbükeydir ve x0 noktası bu fonksiyonun maksimum noktasıdır.

b ) Eğer her x ϵ (a,b) için f11(x0) > 0 ise fonksiyon (a,b) aralığında dışbükeydir ve x0 noktası bu fonksiyonun minimum noktasıdır.

c ) f11(x0) = 0 ise fonksiyonun x0 noktasındaki ekstremal durumu hakkında bir şey söylenemez.

Bunun için y1 = 3x2 – 24x + 7

İkinci türevi y11 = 6x – 24 x = 4 noktasında f11(x) = 0 olduğundan x = 4 noktasının ekstremal noktası olduğu söylenemez, ikinci türev bu noktanın solunda , sağında ise pozitif olduğundan, fonksiyon negatif noktalarda içbükey, pozitif noktalarda dış bükeydir.Bu yüzden fonksiyonumuz için

( - ∞ , 4 ) noktası iç bükey olduğu aralık olarak bulunur.

Temel integral kurallarında da verildiği gibi , ( 4x3 için birinci kural , ex için dördüncü kural ve (-3)/x için ikinci kural sırasıyla uygulanır.)

ʃ (4x3+ ex - 3/x ) dx = 4x^4/4 + ex – 3ln|x| olarak bulunur. Sadeleşmiş olarak ise

= x4 + ex – 3ln|x| olarak bulunur.

y = - 4 + 5x – x2 => - 4 + 5x – x2 = (x-1)(4-X)
Bu noktalar x=1 ve x = 4 noktalarıdır. O zaman aradığımız alan:

∫_1^4▒(-4+5x-x^2 )dx = -4∫_1^4▒dx + 5 ∫_1^4▒〖x dx〗 - ∫_1^4▒x^2 dx

(-4x + 5x^2/2 - x^3/3 ) fonksiyonunun x=1 ve x=4 aralığındaki değeri ise

=|- 57/6| = 57/6 olarak bulunur.

Önce bu iki fonksiyonun kesişim noktalarını bulalım. Yani integral sınırlarını bulalım.

4+2x -x2 = 2x-5
X2 – 9= 0 ve çözüm kümesi ise x1=-3 ve x2= 3 olarak bulunur.Bunlar aynı zamanda integral sınırlarıdır.İntegrali alınacak fonksiyon ise

∫_(-3)^3▒〖〖(x〗^2-9)dx〗 = ∫_(-3)^3▒〖〖(x〗^2)dx〗 -9 ∫_(-3)^3▒dx = ( x^3/3 - 9x ) I_(-3)^3 = |-36| = 36 br2

∫_0^2▒〖(3x^2-4e^x+1/(x+1)〗 ) dx = ( 3x^3/3 -4e^x + ln|x+1| ) I_0^2 = ( x3 -4e^x+ ln|x+1| ) I_0^2

= (8 -4e2 + ln|2+1| ) – ( 0 – 4e0 + ln|0+1| )

= (8 -4e2 + ln|3| ) – ( – 4 + ln|1| )

= (8 -4e2 + ln|3| ) – ( – 4 )

= 12 -4e2 + ln|3|

Not: ln|1| = 0 olduğu için

(lim⁡()┬(n→∞)⁡〖(3n+7)/(4n-2)〗 ) = lim┬(n→∞)⁡〖(n( 3+ 7/n ))/(n(4- 2/n ))〗 = 〖lim┬(n→∞) 〗⁡〖(3+ 7/n )/(4- 2/n )〗 = lim┬(n→∞)⁡〖(3+7/n)〗/(lim┬(n→∞)⁡〖( 4-2/n〗)) = (3+0)/(4-0) = 3/4

〖lim┬(n→∞) 〗⁡〖(n(4- 1/n ))/(n^2 (3+ 4/n- 72/n^2 ) )〗 = lim┬(n→∞)⁡〖(( 1/n )( 4-1/n ))/(3+ 4/n- 72/n^2 )〗 = 〖lim┬(n→∞) (〗⁡〖1/n) lim┬(n→∞)⁡〖( 4-1/n )〗 〗/lim┬(n→∞)⁡〖(3+4/n - 72/n^2 )〗 = (0 (4-0))/((3+0-0)) = 0

lim┬(n→∞)⁡〖(n^2 ( 1- 5/n - 7/n^2 ) )/(n ( 3- 111/n ))〗 = : lim┬(n→∞)⁡〖(n( 1- 5/n - 7/n^2 ) )/(( 3- 111/n ))〗

lim┬(n→∞)⁡n = + ∞ ve sayfa 139 da a ve b şıklarında yapılan açıklamalardan lim┬(n→∞)⁡〖(( 1- 5/n - 7/n^2 ) )/(( 3- 111/n ))〗 = 1/3 elde edilir.

Bu iki sonuç birleştirilerek lim┬(n→∞)⁡〖(n^2-5n-7)/(3n-111)〗 = + ∞ elde edilir.

lim┬(n→∞)⁡〖(n^2-n-1)/(n^2/2+5n+6)〗 = lim┬(n→∞)⁡〖(n^2 ( 1- 1/n - 1/n^2 ))/(n^2 ( 1/2+ 5/n+ 6/n^2 ))〗 = lim┬(n→∞)⁡〖(( 1- 1/n - 1/n^2 ))/(( 1/2+ 5/n+ 6/n^2 ))〗 = 1/(1/2) = 2

{ a_n } ve { b_n } yakınsak diziler ve c bir sabit sayı olsun. Bu durumda lim┬(n→∞)⁡c = c dir. Yani lim┬(n→∞)⁡〖〖( 1/2 )〗^3 〗 = 〖 ( 1/2 )〗^3 = 1/8 olarak bulunur.

∑_(n=1)^∞▒〖a. r^(n-1) 〗 serisi

eğer r ≥ 1 ve a > 0 ise + ∞ ‘ a ; r ≥ 1 ve a < 0 ise - ∞ ‘a ıraksar.
Bu örneğimiz için + ∞’ a ıraksar denilir.

∑_(n=1)^∞▒〖a. r^(n-1) 〗 serisi

eğer r ≤ - 1 ve a ≠ 0 ise lim┬(n→∞)⁡〖s_n 〗 var olmamakta , dolayısı ile seri ıraksak olmaktadır.

∑_(n=1)^∞▒1/n^p serisi verilsin, Eğer p>1 ise seri yakınsak, aksi durumda p ≤1 ise seri
+ ∞ ‘a ıraksaktır.
Bizim örneğimiz p>1 olarak verildiği için yakınsaktır denir.

∑_(n=1)^∞▒1/n^p serisi verilsin, Eğer p>1 ise seri yakınsak, aksi durumda p ≤1 ise seri
+ ∞ ‘a ıraksaktır.
Bizim örneğimiz p ≤ 1 olarak verildiği için + ∞ ‘a ıraksaktır.