COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL MATEMATİK - Deneme Sınavı - 7

Oyuncunun i. maçtaki başarılı üç sayılık atış sayısına dersek 5 maç sonunda da ortalaması 6 olduğundan

                         
veya

                         olur.

                          olması istediğinden

                         elde edilir.

x₁,x₂,....,x_n sayılarının geometrik ortalaması

                         

formülüyle verildiğinden cevap

                   olur.

 şeklinde tanımlandığına göre,

olur. Payda eşitlenip gerekli işlemler yapılırsa,

 elde edilir.

{1,2,…,100} kümesi 100 elemanlı olduğundan 2¹⁰⁰ tane alt kümesi vardır. Yani, örnek uzayın eleman sayısı 2¹⁰⁰ olur. {1,2,…,49} kümesinin her alt kümesine 50 eklenecek olursa, {1,2,…,100} kümesinin en büyük elemanı 50 olan tüm alt kümeleri elde edilmiş olur. Bir başka ifadeyle, {1,2,…,100} kümesinin en büyük elemanı 50 olan alt kümelerinin sayısı, {1,2,…,49} kümesinin alt kümelerinin sayısına eşittir. Bu sayı da 2⁴⁹ olduğundan istenen cevap  olur.

Hiçbir harf tekrar etmediğine göre bu şekilde oluşturulabilecek sözcüklerin sayısı yani, örnek uzayın eleman sayısı |S| = 29 · 28 · 27 olur. ˙İstenen koşula uygun sözcüklerin kümesini E ile gösterirsek, 3 harfli bir sözcük   farklı şekilde seçilip, bu sözcük 1 farklı şekilde alfabetik olarak sıralanabileceğinden    olur. O halde cevap

                olur.

İki çocuk için olası tüm durumlar

(Erkek Erkek),(Erkek Kız),(Kız Erkek),(Kız Kız)

olur. Sadece son üç tanesi verilen koşula uymaktadır. Yani örnek uzayımız

S = { (Erkek,Kız),(Kız,Erkek),(Kız,Kız)}

olur. Bunların içinden sadece sonuncusu istenen durumdur. O halde cevap 1/3 olur.

Bir olayın olma olasılığı daima sıfır ile bir aralığında olmak zorundadır. 5/2>1 olduğundan doğru cevap 5/2’dir.

Bir zar 3 kez atıldığında gelen sayıların tek ya da çift olmasına göre ortaya çıkabilecek durumlar
{((T,T,T),(T,T,Ç),(T,Ç,T),(T,Ç,Ç),
(Ç,T,T),(Ç,T,Ç),(Ç,Ç,T),(Ç,Ç,Ç) )}
olur. Yani örnek uzayın eleman sayısı 8 olur. Zarların toplamının çift olması için tekler çift sayıda olmalıdır. Buna uyan durumlar da
{(T,T,Ç),(T,Ç,T),(Ç,T,T),(Ç,Ç,Ç)}
şeklinde 4 tane olduğundan cevap    olur.

Üç zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm durumların sayısı 6³ olur. En büyük zarın, en küçük zarın iki katı olduğu durumlar ise:
(1,1,2) 3 farklı şekilde ortaya çıkabilir.
(1,2,2) 3 farklı şekilde ortaya çıkabilir.
(2,2,4) 3 farklı şekilde ortaya çıkabilir.
(2,3,4) 6 farklı şekilde ortaya çıkabilir.
(2,4,4) 3 farklı şekilde ortaya çıkabilir.
(3,3,6) 3 farklı şekilde ortaya çıkabilir.
(3,4,6) 6 farklı şekilde ortaya çıkabilir.
(3,5,6) 6 farklı şekilde ortaya çıkabilir.
(3,6,6) 3 farklı şekilde ortaya çıkabilir.
Böylece,
3+3+3+6+3+3+6+6+3 = 36
farklı durum vardır. O halde cevap 6²/6³ = 1/6 olur.

x₁,x₂,…,x_n sayılarının aritmetik ortalaması:

 formülüyle hesaplandığından

 elde edilir.

 vektörünün boyu
 olarak bulunur.

 vektörünü hesaplamak için a ’nın bütün bileşenlerini  ile çarpılması gerekmektedir. Buradan hareketle  olur.

a ile b vektörünün iç çarpımı

değerine eşittir. Buradan x.y =-3 olarak bulunur.

Eğer iki matris birbirlerine eşit ise bileşenleri de birbirlerine eşittir. Buradan x=3,y=5 ise x+y=8 olur.

Yukarıdaki determinantı hesapladığımızda
3x-7=23 denklemini elde ederiz. Buradan x=0 bulunur.

Yukarıdaki matrisin determinantını  lük matrisler için determinant hesaplama kuralını kullanarak hesaplayabiliriz.  Bu formülü uyguladığımızda


sonucuna ulaşırız.

 formülü kullanılarak iki vektör arasındaki açı hesaplanabilir. Bu formülde değerleri yerlerine koyarsak,

Bir matrisin transpozu kendisine eşitse bu matrise simetrik matris denir. Bu tanımdan hareketle yukarıdaki matrisleri incelediğimizde
 matrisin bu tanıma uyduğu ve diğer matrislerin uymadığını kolaylıkla gözlemleyebiliriz.

Verilen matrisleri çarptığımızda,

 elde edilir. Böylece ,

 olur.