Analitik Geometri

Düzlemdeki kartezyen koordinat sistemi, iki doğrunun birbirine dik olarak orijinde kesişmesiyle elde edilir. Bu doğrulara koordinat eksenleri denir. Yatay olan doğruya x-ekseni, düşey olana y ekseni, düzleme ise xy-düzlemi adı verilir. Koordinat eksenleri, düzlemi kuadrant olarak adlandırılan dört bölgeye ayırır. Düzlem üzerindeki bir P noktası (a, b) sıralı ikilisi ile gösterilir. Burada a ve b gerçel sayılardır. a’ya noktanın apsisi veya x koordinatı, b’ye ise noktanın ordinatı veya y koordinatı denir.

Üç boyutlu uzayda kartezyen koordinat sistemi üç tane birbirine dik doğrunun kesişmesi ile elde edilir. İki boyutlu uzaydaki gibi kesişim noktasına orijin, doğrulara ise koordinat ekseni denir. Her koordinat ekseninde + ve – yönler bulunmaktadır. Koordinat eksenleri ile belirlenen düzlemlere de koordinat düzlemleri denir. Bunlardan ilki önceki bölümde bahsettiğimiz xy düzlemi, diğerleri ise xz ve yz düzlemleridir. Koordinat düzlemleri uzayı oktant isminde sekiz farklı bölgeye ayırır. Koordinat eksenlerinin tümünün pozitif olduğu bölgeye birinci oktant denir.

Geometrideki temel kavramlardan biri doğrudur. İsminden de anlaşılacağı gibi doğrultusu hiçbir yerde değişmeyen, kalınlığı olmayan, iki yönde de sonsuza kadar uzayan geometrik şekillerdir.

Bir denklem doğru üzerindeki tüm noktaları sağlıyorsa buna doğrunun denklemi denir. Analitik geometride bir doğrunun denklemini belirlemek için çeşitli yollar vardır fakat bu yöntemlerin tümünde aslında doğrunun eğimini bulmak gereklidir. Bunun sebebi doğrunun denkleminin; doğrunun eğimi ve üzerindeki bir nokta ile belirlenebilmesidir.

Çember, elips, parabol ve hiperbol eğrilerine genel olarak konik denir. Bu eğriler aslında dik ve dairesel bir koniğin ve düzlemlerin kesişmesi ile elde edilmesinden dolayı konik olarak adlandırılırlar. Konikler ikinci dereceden eğrilerdir.

Çember bir C (h, k) noktasından eşit uzaklıktaki noktalar kümesi olarak tanımlanabilir. Buradaki uzaklık r ile gösterilir ve çemberin yarıçapı olarak adlandırılır. C noktasına ise çemberin merkezi denir.

Genel tanım olarak sabit bir noktadan ve sabit bir doğrudan eşit uzaklıkta olan noktalar kümesine parabol denir. Bahsedilen noktaya odak noktası, doğruya ise doğrultman doğrusu denir. Doğrultman doğrusuna dik ve odak noktasından geçen doğruya parabolün simetri ekseni, parabolün simetri eksenini kestiği noktaya parabolün tepe noktası denir.

Düzlemde belirli iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktalar kümesine elips denir. Burada bahsedilen iki noktaya elipsin odakları denir.

Düzlem üzerinde belirli iki noktaya olan uzaklıkları farkın ın mutlak değeri sabit olan noktalar kümesine hiperbol denir. Buradaki iki noktaya hiprebolün odakları denir. Odakları birleştiren doğru parçasının orta noktasına hiperbolün merkezi denir. Hiperbolün kanatlarının asal ekseni kestiği noktalara hiperbolün tepe noktaları denir.

Döndürme işlemi ile bir eğriyi ana eksenlerini, koordinat eksenlerine paralel olacak şekilde çevirebiliriz. Bu işlem ile en genel konik denklemindeki xy terimini yok etmiş oluruz. Bu da eğri ile ilgili yapılacak hesaplamalarda büyük kolaylıklar sağlar.

Analitik geometri, geometrik nesnelerin konumlarının ve büyüklüklerinin belirli bir koordinat sistemine göre tanımlanmasında cebirsel denklemler kullanan matemetiğin bir alt dalıdır. Meşhur matematikçiler Rene Descartes (1596 – 1650) ve Pierre de Fermat (1601- 1665) tarafından birbirlerinden bağımsız bir şekilde geliştirilmiştir.

Analitik geometri temel olarak nokta, doğru, düzlem, ikinci dereceden eğriler ve yüzeyler gibi basit geometrik nesneleri ele alır. Analitik geometrinin çalışma prensiplerine başlamadan önce iki boyutlu ve üç boyutlu uzaylarda tanımlı koordinat sistemleri tanımlanmalıdır.

Uzaydaki bir P noktası (a, b, c) sıralı üçlüsü ile gösterilir. Buradaki sıralama önemlidir. Dikkat edilirse a değerinin büyüklüğü aslında P noktasının yz düzleminden uzaklığını, b değerinin büyüklüğü P’nin xz düzleminden uzaklığını ve c’nin büyüklüğü ise P’nin xy düzleminden uzaklığını göstermektedir. Ayrıca a, b ve c’nin işaretleri ile eksenlerin hangi tarafında oldukları belirlenir.

Orijinden geçen doğruların denklemleri y = mx formundadır. Doğrunun eğimi pozitif x ekseni ile yaptığı açının tanjant değerine eşittir. Örneğin, eğimi m = 1 olan doğrunun pozitif x ekseni ile yaptığı açı arctan1 = 45˚’dir. Benzer şekilde x ekseninin kendisi ile yaptığı açı 0˚ olduğundan eğimi m = 0 olur. y ekseninin pozitif x ekseni ile yaptığı açı 90˚’dir. tan90˚ ise tanımsızdır.

Doğrular koordinat eksenlerine paralel olduklarında x = –1, y = 2 gibi son derece basit denklemleri olur. Burada genel olarak yapılan bir hata, örneğin x = –1 denkleminin sadece (–1, 0) noktasını içerdiğidir. Fakat x = –1 denklemi, (–1, b) formundaki tüm noktaları sağlamaktadır. Yani (–1, b) noktalarının tümü x = –1 doğrusunun üzerindedir.

Bir eğrinin denklemi sadece eğri üzerindeki noktalar tarafından sağlanan ve diğer noktalar tarafından sağlanamayan denklemdir.

Merkezil bir parabolün denkleminde x değişkeni birinci dereceden ise simetri ekseni x ekseni, y değişkeni birinci dereceden ise simetri ekseni y eksenidir.

Elipsin yarı büyük eksen uzunluğu ile yarı küçük eksen uzunluğu birbirine eşit ise yani a = b ise elipsin denklemi yarıçapı a olan bir çembere eşit olur.

Bir doğrudan ibaret olan tek boyutlu uzayda iki nokta arasındaki uzaklık rahatlıkla hesaplanabilir. a ve b sayı doğrusu üzerindeki iki farklı nokta olsun. Bu noktalar arasındaki uzaklık |a–b| veya |b–a| işlemi ile hesaplanabilir. Burada | | sembolü mutlak değeri göstermektedir.

Koordinat eksenleri üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye dâhil değildir.