Çokgenler

Doğrusal olmayan en az 3 noktanın birleşmesiyle oluşan şekle çokgen denir. Çokgenler
kenar sayılarına göre adlandırılırlar; altıgen, dokuzgen vb.

Herhangi bir çokgenin iç bölgesinde alınan, herhangi iki noktanın birleşmesiyle oluşan doğru parçası çokgeni kesiyor ise bu tür çokgenlere içbükey çokgen (konkav) denir.

Herhangi bir çokgenin iç bölgesinde alınan, herhangi iki noktanın birleşmesiyle oluşan doğru parçası çokgeni kesmiyor ise bu tür çokgenlere dışbükey çokgen (konveks) denir.

Konveks çokgenlerde komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

Konveks bir dokuzgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?
Çözüm: Dışbükey çokgen dokuzgen olduğundan n=9’dur.
İç açılarının toplamı = (n–2) . 180˚
= (8 – 2) . 180˚
= 1080˚’dir.

Konveks Çokgenlerin Özellikleri
• Kenar sayısından bağımsız olarak konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360˚’dir.
• Kare ve dikdörtgen hariç, n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılarından en az (n-3) tanesi geniş açıdır.
• Konveks bir çokgende bir köşeden çizilebilecek köşegenlerin sayısı en fazla (n-3) tanedir.
• n kenarlı konveks bir çokgende çizilebilecek köşegen sayısı en fazla n(n-3)/2’dir.
• Kenar sayısı n olan bir konveks çokgenin çizilebilmesi için (2n-3) tane elemanı bilinmelidir. Bu elemanlardan en az (n-2) tanesi uzunluk, en çok (n-1) tanesi açı olmalıdır.

n yıldızılın köşe sayısı ve n > 4 olmak üzere, köşe noktalarındaki iç açıları toplamı
(n–4) . 180˚’dir.

7-4=3

3x180=540

• Kenar sayısı n olan düzgün konveks bir çokgenin her bir iç açısının ölçüsü,

α = (n − 2)⋅180˚/n ’dir.
• Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde, karşılıklı kenarlar birbirine paralel ve karşıt köşeleri birleştiren köşegenler açıortaydır.
• Düzgün çokgenlerde bir köşeden çizilen ardışık köşegenlerin arasındaki açı ölçüleri birbirine eşittir.
• Düzgün çokgenlerde iç açıortaylarının kesim noktası ile kenar orta dikmelerinin kesim noktası aynı noktadır ve bu nokta, düzgün çokgenin iç teğet çemberinin ve çevrel çemberinin merkezi olup aynı zamanda ağırlık merkezidir.

Birbirine eşit uzunlukta beş köşegeni vardır, köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuna oranı, altın orana eşittir.

Düzgün beşgeninin içine r yarıçaplı iç teğet çemberi çizilir. ÇEmber orta noktasından beşgenin bir kenarını taban oluturacak şekilde bir üçgen çizilir. Oluşan bu AOB üçgeninin alanı Alan (AOB) = a ⋅r /2 'dir.
Düzgün beşgen 5 tane AOB üçgeninden oluştuğu için Alan (ABCDE) = 5⋅a ⋅r/2 'dir.

Bir iç açısının ölçüsü 120˚, bir dış açısının ölçüsü ise 60˚’dir

Altı tanesi kısa, üç tanesi uzun olmak üzere toplam dokuz tane köşegeni vardır. Kısa köşegenlerin uzunlukları birbirine eşit ve bir kenar uzunluğunun 3 katıdır. Uzun köşegenlerinden her birinin uzunluğu bir kenar uzunluğunun 2 katıdır. Uzun köşegenler aynı zamanda açıortay ve simetri eksenidir, düzgün altıgenin ağırlık merkezinde kesişirler

Dörtgenlerin hem iç açıları toplamı hem de dış açıları toplamı 360˚’dir.

ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen,
m (BPC) = x ise
Alan(ABCD) = 1/2 ⋅ [AC] ⋅ [BD] ⋅sin x 'dır.
Dörtgende [AC] ve [BD] dik olursa
x = 90˚⇒ sin90˚ = 1 olduğundan
Alan(ABCD) = AC ⋅ BD/2 'dir.

• Bir paralelkenarda karşılıklı kenarların uzunlukları ve karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.
• Paralelkenarda komşu açılar bütünlerdir.
• Paralelkenarda komşu açılar bütünlerdir.
• Paralel kenarın alanı A(ABCD) = a . h’dır.

Eşkenar dörtgenin alanı herhangi bir kenarı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
Alan (ABCD) = a . h

Çevre (10x2)+(12x2)=48

Alan 12x10=120

Bir kenarı a olan karenin köşegeni a kök 2'dir. 5 kök iki cm'dir.

Tabanları çakışık iki ikizkenar üçgenin oluşturduğu dörtgene deltoid denir.
• Deltoidin köşegenleri diktir.
• Köşegenleri dik olduğundan ABCD deltoid'i için alanı
A(ABCD) = 1/2. AC ⋅ BD
• ABCD deltoidinde [AC] köşegeni aynı zamanda A ve C açılarının açıortay doğrusudur.
• ABD ve BCD ikizkenar üçgenlerinin tabanını oluşturan köşegen diğer köşegen tarafından iki eşit parçaya bölünür.
• Deltoidin farklı kenarlarının birleştiği köşelerdeki açıları eşittir.

Alan = 1/ 2 (a + c)⋅h

1/2 (5+12). 6

=51